He aquí una situación matemática muy habitual: sea f una función continua y monótona (es decir, creciente o decreciente) definida entre dos números reales a y b, tales que f (a) y f (b) tengan signos contrarios. Puesto que f es continua, necesariamente corta al eje de abscisas (por el teorema de los valores intermedios). Además, como es monótona —en este caso, creciente—, la ecuación f (x) = 0 tiene una única solución. Se la llama raíz de la ecuación y se la denota por α.
En algunos casos, por ejemplo si f (x) es un trinomio, es decir, un polinomio de segundo grado, existen fórmulas, bien conocidas por los alumnos de bachillerato, que permiten obtener el valor de α. Pero, en general, para una expresión cualquiera f (x), no existe un método exacto para hallar ese valor. En cambio, sí existen métodos iterativos para obtener un valor aproximado de α. Veamos los más conocidos.
Al dividir el intervalo
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El primer método se llama método de bisección. Tras esta palabra un tanto erudita se esconde una idea muy sencilla: dividir el intervalo [a, b] en dos partes de igual longitud y observar en cuál de ellas se encuentra la raíz α. Este nuevo intervalo tendrá la mitad de la longitud del intervalo inicial y contendrá α. Si repetimos este proceso un número suficiente de veces, obtendremos un valor aproximado de α con la precisión deseada, pues en cada etapa la longitud del intervalo se divide entre 2. En realidad, tendremos dos valores aproximados: uno por defecto (menor) y otro por exceso (mayor).
