Procesos iterativos y recurrencia
Aparecido claramente en escritos de Pascal sobre cuestiones aritméticas y combinatorias (entre los cuales el triángulo de Pascal), el razonamiento por inducción encuentra un lugar natural en el estudio de las sucesiones, permitiendo formalizar, generalizar y luego mejorar métodos de resolución aproximada de ecuaciones conocidas desde siglos. Henri Poincaré dirá que es « el razonamiento matemático por excelencia ». La inducción permite construcciones entre las más memorables, de la sucesión de Fibonacci al algoritmo de Herón (para aproximar la raíz cuadrada de un número positivo). Si la iteración de un proceso computacional responde a problemáticas prácticas desde la Antigüedad (a menudo para mejorar la precisión de un resultado o resolver de forma concreta un problema), iterar un razonamiento permite acceder a consideraciones más teóricas.
Todos los artículos de este dossier
Una poderosa herramienta para el razonamiento
Al permitir obtener una infinidad de conclusiones a partir de una única aplicación, el razonamiento por inducción es uno de los grandes logros de las matemáticas. La construcción de sucesiones recurrentes permite modelizar objetos interesantes en las aplicaciones y resolver una amplia variedad de problemas.
Las múltiples caras del razonamiento por inducción
El razonamiento por inducción es una herramienta tan clásica como indispensable, cuya formulación se resume fácilmente.
Recurrencia lineal y epidemia de empollones de las matemáticas
Las sucesiones recurrentes son un tema que suele destacarse, especialmente en juegos y problemas. Una buena ocasión para hablar de las recurrencias lineales y afines que se emplean habitualmente.
Blaise Pascal al asalto de la inducción
Aunque los especialistas siguen debatiendo sobre el nacimiento del razonamiento por inducción, suelen reconocer el Traité du triangle arithmétique de Blaise Pascal como el primer texto en que se expone explícitamente. Visita guiada a un monumento histórico de la demostración.
El algoritmo de Herón
Herón de Alejandría es conocido por una célebre fórmula que permite hallar el área de un triángulo sin conocer su altura. También le debemos mecanismos extremadamente sofisticados y un método recursivo extraordinariamente eficaz para aproximar la raíz cuadrada de un número positivo.
Métodos iterativos para resolver ecuaciones
Las sucesiones, incluidas las sucesiones definidas por recurrencia, aparecen en multitud de ámbitos de las matemáticas. Es el caso de los métodos numéricos de resolución de ecuaciones, que son, de hecho, métodos iterativos; de ahí la presencia de sucesiones.