Las múltiples caras del razonamiento por inducción

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Consideremos una propiedad $\mathcal{P}(n)$ enunciada para cierto número natural n. Para demostrar que esta propiedad es verdadera para todo número natural, se puede proceder en dos pasos.

El primero, el caso base, consiste en demostrar que $\mathcal{P}(0)$ es verdadera.

El segundo, el paso inductivo, consiste en mostrar que, si $\mathcal{P}(n)$ es verdadera para un número natural n cualquiera, entonces $\mathcal{P}(n+1)$ también lo es. Este principio suele ilustrarse con una fila de fichas de dominó que caen unas tras otras cuando se empuja la primera.

Existen varios refinamientos de este principio, que siguen siendo equivalentes a esta «inducción simple». Por supuesto, se puede iniciar el razonamiento a partir de un número entero no nulo n₀, y se concluirá que $\mathcal{P}(n)$ es verdadera para todo entero n mayor o igual que n₀. También se puede aplicar una «inducción doble»; en ese caso, se demuestra que $\mathcal{P}(0)$ y $\mathcal{P}(1)$ son verdaderas y, después, que si $\mathcal{P}(n-1)$ y $\mathcal{P}(n)$ son verdaderas, entonces $\mathcal{P}(n+1)$ también lo es. Incluso se puede llegar a una «inducción fuerte», en la que, para demostrar que $\mathcal{P}(n+1)$ es verdadera, se supone que la propiedad es verdadera para todos los enteros menores.