«El científico debe ordenar, la ciencia se hace con hechos como una casa con piedras, pero una acumulación de hechos no es más una ciencia que un montón de piedras una casa», decía el matemático Henri Poincaré en 1905 en su obra fundamental, la Valeur de la science (Flammarion). Esta afirmación centenaria no ha envejecido: razonar en matemáticas sigue estando de actualidad; es incluso la base de esta ciencia que tanto apreciamos. Es también lo que la enriquece y nos permite descubrir sin cesar nuevas propiedades, inventar nuevos teoremas y demostrar nuevos resultados. El potencial y la fuerza del razonamiento matemático residen esencialmente en su carácter multiforme: por una parte, un mismo razonamiento puede adaptarse a temas a veces muy distintos; por otra, un mismo tema puede abordarse mediante varias formas diferentes de razonamiento. Repasemos las formas de razonamiento más empleadas y universales.
Los razonamientos en la sombra ----------------------------
Todo empieza, pues, con piedras. ¿Piedras? Son nuestras ideas, las que darán lugar a una sospecha que después nos permitirá pasar de lo particular a lo general. Aquí no hay realmente «razonamiento», en el sentido estricto del término, sino un proceso subyacente, un «razonamiento» en la sombra, más bien una intuición, la primera piedra del edificio. Será la base de una «forma difusa» de razonamiento: la inducción, que permitirá formular una conjetura a partir de varios casos concordantes. Esta dará lugar posteriormente a una demostración… o a un contraejemplo. Si buscamos, por ejemplo, el conjunto de puntos P desde los que se «ve» un segmento [AB] dado bajo un ángulo recto, construiremos algunos de esos puntos y tendremos la idea de que se desplazan sobre una circunferencia de diámetro [AB]… algo que, por supuesto, aún habrá que demostrar (véase les Angles, Bibliothèque Tangente 53, 2015). Así hemos «sospechado» la verdad sin haber realizado el menor razonamiento formal.
Una de las formas particulares del razonamiento inductivo, otro «razonamiento en la sombra», es el razonamiento por analogía. La analogía, origen de ciertas intuiciones fulgurantes, permite «presentir» determinados hechos matemáticos que solo el razonamiento transformará en verdades.