El Traité du Triangle Arithmétique et traités connexes, del que existe una primera versión en latín, fue redactado por Pascal en 1654 y publicado en 1665. Sabemos que este «triángulo aritmético» fue representado mucho antes de Pascal, de una forma u otra, y que su historia es especialmente rica y apasionante (véase Tangente 176). Conocemos al Pascal pensador, físico, polemista, apologista y, por supuesto, matemático, pero hoy también se le considera filósofo, capaz de distinguir entre el conocimiento científico y la revelación, racionalista en el primer caso y estudioso de los textos —la Biblia, san Agustín…— en el segundo. En su método combina observación, inducción, deducción y comunicación de sus descubrimientos con un arte notable. Así, Pascal aspira a ser científico, pero también escritor, deseoso de que las personas cultas lo lean y lo comprendan.
La búsqueda de la verdad -------------------------
Pascal se preocupa por transmitir la verdad: «Se pueden tener tres objetivos principales en la búsqueda de la verdad: (1) descubrirla cuando se la busca; (2) demostrarla cuando se la posee; (3) distinguirla de lo falso cuando se la examina. No hablo del primero: trato especialmente del segundo, que incluye el tercero.»
En el Traité, están en juego sobre todo los dos primeros objetivos: hay que descubrir la verdad examinando el triángulo aritmético, es decir, conjeturar relaciones verdaderas; esto corresponde a la investigación matemática. La segunda etapa consiste en demostrarlas, es decir, en construir un razonamiento convincente y riguroso. El objetivo (3) también interviene, en relación con el objetivo (1), pues el investigador suele «poner a prueba» hipótesis y, en particular, buscar posibles contraejemplos que demuestren la falsedad de ciertas conjeturas.
Antes de profundizar en el estudio del texto, adoptemos la siguiente notación, tomada del matemático Pierre Humbert (1891‒1953): (r, p) designará el número situado en la casilla correspondiente a la fila horizontal de orden (paralela) r y a la fila vertical de orden (perpendicular) p. Así, (5, 3) = 15 o bien (3, 7) = 28. Con esta notación, la regla de construcción del triángulo es la siguiente: (r, p) = (r – 1, p) + (r, p – 1). Pascal escribe: «El número de cada celda es igual al de la celda que la precede en su fila perpendicular, más el de la celda que la precede en su fila paralela. Así, la celda F, es decir, el número de la celda F, es igual a la celda C más la celda E, y lo mismo sucede con las demás.»