Le Traité du Triangle Arithmétique et traités connexes, dont il existe une première version en latin, a été rédigé par Pascal en 1654 puis publié en 1665. On sait que ce « triangle arithmétique » a été représenté bien avant Pascal, sous une forme ou sous une autre, et son histoire est particulièrement riche et passionnante (voir Tangente 176). On connaît le Pascal penseur, physicien, polémiste, apologiste, et bien sûr mathématicien, mais maintenant on le considère aussi comme philosophe, capable de distinguer connaissances scientifiques et révélation, se montrant rationaliste dans le premier cas, étudiant les textes (la Bible, saint Augustin…) dans le second cas. Dans sa démarche, il mêle observation, induction, déduction et communication de ses découvertes avec un art remarquable. Ainsi, Pascal se veut savant mais aussi écrivain souhaitant être lu et compris par les personnes cultivées.
La recherche de la vérité -------------------------
Pascal a le souci de transmettre la vérité : « On peut avoir trois principaux objets dans la recherche de la vérité : (1) l’un de la découvrir quand on la cherche ; (2) l’autre de la démontrer quand on la possède ; (3) le dernier, de la discerner d’avec le faux, quand on l’examine. Je ne parle pas du premier : je traite particulièrement le second et il enferme le troisième. »
Pour le Traité, ce sont surtout les deux premiers objets qui sont concernés : il faut découvrir la vérité en examinant le triangle arithmétique, c’est-à-dire deviner des relations vraies ; cela relève de la recherche mathématique. La seconde étape est de les démontrer, c’est-à-dire de construire un raisonnement convaincant et rigoureux. L’objet (3) est aussi concerné, en lien avec l’objet (1), car le chercheur va souvent « tester » des hypothèses, en particulier rechercher d’éventuels contre-exemples prouvant la fausseté de certaines conjectures.
Avant de plonger plus avant dans l’étude du texte, empruntons au mathématicien Pierre Humbert (1891‒1953) la notation suivante : (r, p) désignera le nombre situé dans la case correspondante à la ligne horizontale de rang (parallèle) r et à la ligne verticale de rang (perpendiculaire) p. Ainsi (5, 3) = 15 ou encore (3, 7) = 28. Avec cette notation, la règle de construction du triangle est la suivante : (r, p) = (r – 1, p) + (r, p – 1). Pascal écrit : « Le nombre de chaque cellule est égal à celui de la cellule qui la précède dans son rang perpendiculaire, plus celui de la cellule qui la précède dans son rang parallèle. Ainsi la cellule F, c’est-à-dire le nombre de la cellule F, égale la cellule C, plus la cellule E, et ainsi des autres. »