Un orfèvre du raisonnement par récurrence

Au XVII^e siècle, Pierre de Fermat introduit le procédé de « descente infinie », bien mal dénommé puisque, précisément, la « descente » est finie. Le raisonnement par récurrence, quant à lui, pourrait être qualifié de « montée à l’infini » (voir En Bref « Pierre de Fermat, un célèbre contemporain »). À la même époque, Pascal crée un outil remarquable qui s’y apparente. Étrangement, il ne l’utilisera que rarement dans ses écrits mathématiques, préférant souvent démontrer « par l’exemple » et jugeant inutile d’expliciter la montée vers l’infini. Ce défaut de rigueur est-il propre à Pascal ? Non, les mathématiciens, aux XVII^e et XVIII^e siècles, se contentent souvent de « démontrer par l’exemple », quand l’intuition le permet, comme s’il existait des « idées claires et distinctes » (comme l’écrit Descartes) que l’on n’avait pas à analyser plus que nécessaire mais seulement à faire sentir aux lecteurs. Le XIX^e siècle montrera les limites de ces pratiques et apportera aux mathématiques beaucoup plus de rigueur.

Les cellules constituant les deux bords du triangle qui se rejoignent au sommet sont constituées uniquement de chiffres 1. L’entier qui figure dans toute cellule (par exemple 6) est la somme des entiers qui se trouvent dans les deux cellules du dessus (3 + 3). Le nombre situé dans la « colonne » p (oblique, contenant un élément de chaque ligne en comptant à partir de 0) et la ligne n (en comptant à partir de 0 les lignes) indique le nombre de combinaisons possibles de p éléments dans un ensemble à n éléments et vaut donc , noté encore $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)\backslash binom\{n\}\{p\}$, soit $\frac{n!}{p!(n-p)!}\backslash frac\{n!\}\{p!(n-p)!\}$.