Un orafo del ragionamento per induzione

Nel 17^º secolo Pierre de Fermat introdusse il procedimento della «discesa infinita», nome assai poco appropriato poiché, per l’appunto, la «discesa» è finita. Il ragionamento per induzione potrebbe invece essere definito una «salita all’infinito» (vedi In breve «Pierre de Fermat, un celebre contemporaneo»). Nello stesso periodo Pascal elaborò uno strumento notevole che le somiglia. Stranamente lo utilizzò solo di rado nei suoi scritti matematici, preferendo spesso dimostrare «con l’esempio» e ritenendo inutile esplicitare la salita all’infinito. Questo difetto di rigore è proprio di Pascal? No: nei 17^º e 18^º secoli i matematici si accontentavano spesso di «dimostrare con l’esempio», quando l’intuizione lo consentiva, come se esistessero «idee chiare e distinte» (come scrive Cartesio) che non occorreva analizzare oltre il necessario, ma soltanto far percepire ai lettori. Il 19^º secolo mostrò i limiti di queste pratiche e portò molto più rigore alla matematica.

Le celle che costituiscono i due bordi del triangolo, che si congiungono al vertice, contengono esclusivamente la cifra 1. Il numero presente in ogni cella (per esempio 6) è la somma dei numeri contenuti nelle due celle soprastanti (3 + 3). Il numero che si trova nella «colonna» p (obliqua, che contiene un elemento di ogni riga contando da 0) e nella riga n (contando le righe a partire da 0) indica il numero di combinazioni di p elementi scelti fra n elementi e vale dunque, indicato anche con $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)\backslash binom\{n\}\{p\}$, ossia $\frac{n!}{p!(n-p)!}\mathrm{.}\backslash frac\{n!\}\{p!(n-p)!\}.$

L’origine del ragionamento per induzione ----------------------------------------