Il Traité du Triangle Arithmétique et traités connexes, di cui esiste una prima versione in latino, fu redatto da Pascal nel 1654 e pubblicato nel 1665. Sappiamo che questo «triangolo aritmetico» era stato rappresentato molto prima di Pascal, in una forma o nell’altra, e che la sua storia è particolarmente ricca e appassionante (vedi Tangente 176). Conosciamo Pascal come pensatore, fisico, polemista, apologeta e, naturalmente, matematico; oggi lo si considera anche filosofo, capace di distinguere le conoscenze scientifiche dalla rivelazione, razionalista nel primo caso e studioso dei testi (la Bibbia, sant’Agostino…) nel secondo. Nel suo metodo unisce osservazione, induzione, deduzione e comunicazione delle proprie scoperte con arte notevole. Pascal intende dunque essere uno studioso, ma anche uno scrittore che desidera essere letto e compreso dalle persone colte.
La ricerca della verità -------------------------
Pascal si preoccupa di trasmettere la verità: «Si possono avere tre principali obiettivi nella ricerca della verità: (1) scoprirla quando la si cerca; (2) dimostrarla quando la si possiede; (3) distinguerla dal falso quando la si esamina. Non parlo del primo: tratto in particolare il secondo, che comprende il terzo.»
Nel Traité sono soprattutto i primi due obiettivi a entrare in gioco: occorre scoprire la verità esaminando il triangolo aritmetico, cioè individuare relazioni vere; questo rientra nella ricerca matematica. La seconda fase consiste nel dimostrarle, ossia nel costruire un ragionamento convincente e rigoroso. Anche l’obiettivo (3) è coinvolto, in rapporto con l’obiettivo (1), poiché il ricercatore spesso «mette alla prova» delle ipotesi, cercando in particolare eventuali controesempi che dimostrino la falsità di alcune congetture.
Prima di addentrarci nello studio del testo, prendiamo in prestito dal matematico Pierre Humbert (1891‒1953) la seguente notazione: (r, p) indicherà il numero posto nella casella corrispondente alla riga orizzontale di indice (parallela) r e alla riga verticale di indice (perpendicolare) p. Così, (5, 3) = 15 oppure (3, 7) = 28. Con questa notazione, la regola di costruzione del triangolo è la seguente: (r, p) = (r – 1, p) + (r, p – 1). Pascal scrive: «Il numero di ciascuna casella è uguale a quello della casella che la precede nella sua riga perpendicolare, più quello della casella che la precede nella sua riga parallela. Così la casella F, cioè il numero della casella F, è uguale alla casella C più la casella E, e analogamente per le altre.»