« Lo studioso deve ordinare, si fa scienza con i fatti come si costruisce una casa con le pietre, ma un accumulo di fatti non è più una scienza di quanto un mucchio di pietre sia una casa », diceva il matematico Henri Poincaré nel 1905 nella sua opera fondamentale, la Valeur de la science (Flammarion). L’affermazione, centenaria, in realtà non è invecchiata: ragionare in matematica è ancora attuale, anzi è il fondamento stesso di questa scienza che ci sta a cuore. Ed è anche ciò che ne costituisce la ricchezza e consente di scoprire senza sosta nuove proprietà, inventare nuovi teoremi, dimostrare nuovi risultati. Questo potenziale del ragionamento matematico, questa sua forza, risiede essenzialmente nella sua natura multiforme: da una parte, uno stesso ragionamento può adattarsi ad argomenti talvolta molto diversi; dall’altra, uno stesso tema può essere trattato anche mediante varie forme distinte di ragionamento. Passiamo in rassegna le forme di ragionamento più comuni e universali.
I ragionamenti dell’ombra ----------------------------
Tutto comincia dunque con le pietre. Pietre? Sono le nostre idee, quelle che daranno origine a un’ipotesi, che ci farà poi passare dal particolare al generale. Non proprio un «ragionamento» nel senso stretto del termine, ma una forma di ragionamento sottesa, un «ragionamento» dell’ombra, ossia un’intuizione: la prima pietra dell’edificio. Sarà la base di una «forma diffusa» di ragionamento: l’induzione, che consentirà, a partire da diversi casi concordanti, di formulare una congettura. Sarà quest’ultima a dare poi luogo a una dimostrazione… oppure a un controesempio. Se cerchiamo, per esempio, il luogo geometrico dei punti P da cui un dato segmento [AB] si «vede» sotto un angolo retto, costruiamo alcuni di questi punti e ci viene l’idea che essi giacciano su una circonferenza di diametro [AB]… cosa che naturalmente resta ancora da dimostrare (vedi les Angles, Bibliothèque Tangente 53, 2015). Abbiamo così «intuito» la verità, senza compiere il minimo ragionamento formale.
Una forma particolare di ragionamento induttivo, altro «ragionamento dell’ombra», è il ragionamento per analogia. L’analogia, all’origine di certe intuizioni folgoranti, permette di «intuire» alcuni fatti matematici, che solo il ragionamento trasformerà in verità.