« Le savant doit ordonner, on fait de la science avec des faits comme une maison avec des pierres, mais une accumulation de faits n’est pas plus une science qu’un tas de pierres n’est une maison » disait le mathématicien Henri Poincaré en 1905 dans son ouvrage majeur, la Valeur de la science (Flammarion). Le propos, centenaire, n’a en fait pas vieilli : raisonner en mathématiques est toujours d’actualité, c’est même la base de cette science qui nous est chère. C’est aussi ce qui en fait la richesse et permet sans arrêt de découvrir de nouvelles propriétés, d’inventer de nouveaux théorèmes, de démontrer de nouveaux résultats. Ce potentiel du raisonnement mathématique, sa puissance, résident essentiellement dans un caractère multiforme : d’une part, un même raisonnement peut s’adapter à des sujets parfois très différents ; d’autre part, un même thème peut également être traité grâce à plusieurs formes distinctes de raisonnement. Faisons le tour des formes de raisonnement les plus couramment utilisées, les plus universelles.
Les raisonnements de l’ombre
Tout commence donc avec des pierres. Des pierres ? Ce sont nos idées, celles qui donneront lieu à une présomption, qui nous fera ensuite passer du particulier au général. Pas vraiment de « raisonnement » ici, au sens propre du terme, mais une démarche sous-jacente, un « raisonnement » de l’ombre, plutôt une intuition, la première pierre de l’édifice. Elle sera la base d’une « forme diffuse » de raisonnement : l’induction, qui permettra, à partir de plusieurs cas concordants, de formuler une conjecture. C’est cette dernière qui donnera par la suite lieu à démonstration… ou un contre-exemple. Si l’on cherche, par exemple, l’ensemble des points P d’où l’on « voit » un segment [AB] donné sous un angle droit, on va construire quelques-uns de ces points et avoir l’idée qu’ils se déplacent sur un cercle de diamètre [AB]… ce qu’il faudra bien sûr encore démontrer (voir les Angles, Bibliothèque Tangente 53, 2015). On a ainsi « soupçonné » la vérité, sans avoir fait le moindre raisonnement formel.
L’une des formes particulières de raisonnement inductif, autre « raisonnement de l’ombre », est le raisonnement par analogie. C’est l’analogie, l’origine de certaines intuitions foudroyantes, qui permet de « pressentir » certains faits mathématiques, que seul le raisonnement va transformer en vérités.
