El viaje podría ser muy largo, dado el gran número de desigualdades matemáticas célebres y útiles. Así, incluso si nos limitamos a las más «simples», ya encontramos algunas «estrellas»: desigualdades potentes e importantes.
A de desigualdad de Aristarco --------------------------------
Si α y β son las medidas de dos ángulos agudos, expresadas en grados o en radianes, y si β < α, se tiene:
sin⁡αsin⁡β<αβ<tan⁡αtan⁡β.\frac{\sin \alpha}{\sin\beta } < \frac{\alpha }{\beta }< \frac{\tan\alpha }{\tan\beta }.
Lleva el nombre del astrónomo griego Aristarco de Samos, quien pensaba, diecisiete siglos antes que Copérnico, que los planetas giraban alrededor del Sol.

Aristarco de Samos (hacia ‒310; hacia ‒230), tal como aparece representado en

Harmonia Macrocosmica de Andreas Cellarius (1660).
AF de desigualdad de los incrementos finitos ---------------------------------------------
Uno de los teoremas fundamentales del cálculo diferencial para las funciones con valores en R\Bbb{R} es el teorema de los incrementos finitos. Generaliza el teorema de Rolle, demostrado en 1691 por Michel Rolle (1652‒1719). Este es su enunciado: si una función f está definida en un intervalo [a, b] (con a < b) con valores en R\Bbb{R}, y es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, entonces existe c perteneciente a ]a, b[ tal que f (b) ‒ f (a) = (b ‒ a) f’(c).
En esta forma moderna, fue demostrado en 1823 por Augustin-Louis Cauchy (1789‒1857). Este teorema puede escribirse en forma de desigualdad. En efecto, si f es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, y existe una constante M ≥ 0 tal que | f’(t) | ≤ M para todo t perteneciente a ]a, b, entonces se tiene la desigualdad de los incrementos finitos:
| f (b) ‒ f (a) | ≤ (b ‒ a) × M.
El teorema de los incrementos finitos no se generaliza a las funciones vectoriales, es decir, con valores en Rn\Bbb{R} ^n (con n ≥ 2). En cambio, la desigualdad de los incrementos finitos sí se generaliza, y este único resultado basta con creces en la mayoría de las aplicaciones.
Bern de desigualdad de Bernoulli -----------------------------------
Expresa que, para todo número entero n estrictamente mayor que 1 y todo número real x mayor o igual que ‒1, se cumple la relación (1 + x)*n ≥ 1 + nx*.
Enunciada en 1689 por Jacques Bernoulli (1654‒1705) a propósito de un cálculo de intereses, sin duda se estableció antes. Se demuestra por inducción sobre n. En efecto, la desigualdad es cierta para n = 2: (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 ≥ 1+2x porque x2 ≥ 0. Supongamos que es cierta para n fijo; entonces (1 + x)*n ≥ 1 + nx*. Ahora bien, (1+x)*n*+1 = (1+x)*n(1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x*) por la hipótesis de inducción; y, al desarrollar: (1 + x)*n*+1 ≥ 1 + (n + 1)x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x porque nx2 ≥ 0. Por tanto, el resultado es cierto para n + 1. Por el teorema de inducción, es cierto para todo n.
Esta desigualdad se generaliza sustituyendo el entero n por el real r que satisface una condición análoga: r ≥ 1. Entonces se necesita el cálculo diferencial para demostrar esta nueva desigualdad.
Berns de desigualdad de Bernstein ------------------------------------
Se refiere a los polinomios definidos sobre los números complejos y a sus derivadas. Si P es un polinomio con coeficientes complejos de grado menor o igual que n y k es un número entero, se tiene:
max⁡∣z∣≤1∣P(k)(z)∣≤n!(n−k)!max⁡∣z∣≤1∣P(z)∣.\max_{| z| \leq 1}|\mathrm{P}^{(k)}(z)| \leq \frac{n!}{(n-k)!} \max_{| z|\leq 1} | \mathrm{P}(z)|.
Los valores máximos se alcanzan en el conjunto de los números complejos de módulo menor o igual que 1. La igualdad se alcanza con el polinomio P(z) = *azn*. Esta desigualdad fue obtenida en la década de 1910 por Serguéi Natanóvich Bernstein (1880‒1968) en sus trabajos de teoría de la aproximación.
CS de desigualdad de Cauchy‒Schwarz --------------------------------------
Demostrada inicialmente por Cauchy y publicada en 1821, se refiere, por una parte, a los reales x1, x2… y *xn y, por otra parte, a y*1, y2… e *yn*. Se tiene:
∣x1y1+x2y2+⋯+xnyn∣≤x12+x22+⋯+xn2 y12+y22+⋯+yn2.| x_1y_1+x_2y_2+\cdots +x_ny_n| \leq \sqrt{x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_n}\,\sqrt{y^2_1+y^2_2+\cdots +y^2_n}.
Posteriormente fue generalizada al caso de las integrales por el ruso Víktor Yákovlevich Buniakovski (1804‒1889) y el alemán Hermann Amandus Schwarz (1843‒1921); véase el artículo [« La desigualdad de Cauchy-Schwarz ».
E de desigualdad de Euler ---------------------------
Si denotamos por r y R los radios respectivos de la circunferencia inscrita y de la circunferencia circunscrita, se tiene 2r ≤ R. Esta desigualdad lleva el nombre de Leonhard Euler (1707‒1783), quien la publicó en 1765. Sin embargo, ya se había publicado con anterioridad. Se convierte en una igualdad cuando el triángulo es equilátero.
FM de desigualdad de los hermanos Markov --------------------------------------
No, no son los Marx Brothers, bien conocidos por los cinéfilos, sino los «hermanos Markov», más precisamente Andréi Andréievich (1856-1922) y su hermano Vladímir Andréievich (1871‒1897), ambos matemáticos rusos; el primero, más conocido por sus trabajos sobre los procesos estocásticos, que desembocaron en la noción llamada hoy cadena de Markov. La desigualdad que lleva su nombre se refiere a los polinomios y sus derivadas. Si P es un polinomio real de grado menor o igual que n y k es un número entero, se tiene:
max⁡−1≤x≤1∣P(k)(x)∣≤n2(n2−1)(n2−22)…(n2−(k−1)2)1×3×5×⋯×(2k−1)max⁡−1≤x≤1∣P(x)∣.\max_{-1\leq x\leq 1}| \mathrm{P}^{(k)}(x)| \leq \frac{n^2(n^2-1)(n^2-2^2)\ldots (n^2-(k-1)^2)}{1\times 3\times 5\times\cdots\times (2k-1)} \max_{-1\leq x\leq 1}| \mathrm{P}(x)|.
En la década de 1890, Andréi demostró la desigualdad para k = 1, y Vladímir la generalizó para todo número entero k. La igualdad se alcanza cuando P es un polinomio de Chebyshev. Esta desigualdad no contradice la desigualdad de Bernstein (véase más arriba), pues aquí los valores máximos se alcanzan en el intervalo real [‒1, 1], y no en el disco unidad del plano complejo.
H de desigualdad de Hölder -----------------------------
Esta desigualdad fue descubierta en 1888, en una forma ligeramente distinta, por el británico Leonard James Rogers (1862‒1933), pero recibió su nombre en honor de Otto Ludwig Hölder (1859‒1937), quien dio otra demostración de ella y la publicó en 1889.
Si x1, x2… *xn e y*1, y2… *yn son reales, y p y q* son reales estrictamente mayores que 1 tales que 1p+1q=1\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, entonces:
\begin{align} &| x_1y_1+x_2y_2+\cdots +x_ny_n| \nonumber\\\ &\leq (| x_1|^p+| x_2| ^p +\cdots + | x_n| ^p\big )^{1/p} (| y_1| ^q+| y_2| ^q+\cdots +| y_n| ^q\big )^{1/q}.\nonumber \end{align}.
Es una generalización de la desigualdad de Cauchy‒Schwarz, que se recupera tomando p = q = 2. También existe una versión con series y distintas versiones con integrales. Por ejemplo: si f y g son funciones integrables en el intervalo [a, b] y si p y q son reales estrictamente
mayores que 1 tales que 1p+1q=1\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, entonces:
∫ab∣f(x)g(x)∣dx≤(∫ab∣f(x)∣pdx)1/p(∫ab∣g(x)∣qdx)1/q.\int ^b_a| f(x)g(x)| dx \leq \Big ( \int_{a}^{b}| f(x)| ^p dx \Big ) ^{1/p} \Big ( \int_{a}^{b}| g(x)| ^qdx ) ^{1/q}.
HH de desigualdad de Hermite‒Hadamard ---------------------------------------
Si una función f es convexa en el intervalo [a, b], es integrable allí (en el sentido de Lebesgue) y su integral satisface las desigualdades
(b−a)f(a+b2)≤∫abf(x)dx≤(b−a)f(a)+f(b)2.(b-a)f\Big ( \frac{a+b}{2}\Big )\leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq (b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}.
Esta desigualdad fue descubierta en 1883 por Charles Hermite (1822‒1901) y demostrada de forma independiente diez años después por Jacques Hadamard (1865‒1963). Es una de las desigualdades básicas vinculadas a la convexidad. Tiene una interpretación gráfica evidente: el primer término de la desigualdad es el área del trapecio ACDB, la integral equivale al área de la región roja y el último término es el área del trapecio AEFB.
I de desigualdad isoperimétrica -----------------------------------
El problema, planteado ya en el 9.º siglo antes de nuestra era, consiste en hallar una desigualdad entre el área encerrada por una curva cerrada y su perímetro, y después encontrar la curva cerrada que tenga la mayor área con el menor perímetro. Si Δ es el área encerrada por la curva y p su perímetro, se tiene:
p2 ≥ 4πΔ.
La igualdad se alcanza para una circunferencia (véase el artículo « El problema de Dido »).
I.A.G. de desigualdad aritmético-geométrica ------------------------------------------------
Esta desigualdad se refiere a las medias aritmética y geométrica de n reales, x1, x2… y *xn* positivos o nulos. Se enuncia sencillamente (véase el artículo « Una historia de medias bien ordenadas ») así:
x1x2…xnn≤1n(x1+x2+⋯+xn).\sqrt[n]{x_1x_2\ldots x_n}\leq \frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n).
J as in the Jensen inequality
This inequality is related to the notion of a convex function (see page 18). If f is a convex function on an interval I, x1, x2… *xn are real numbers in I, and λ*1, λ2… *λn are positive real numbers such that λ*1 + λ2 + … + *λn* = 1, then:
f (λ1x1 + λ2x2 + … + *λnxn) ≤ λ*1 f (x1) + λ2 f (x2) + … + *λnf (xn*).
It was proved in 1906 by the Danish engineer Johan Ludwig William Valdemar Jensen (1859‒1925), a mathematician in his spare time, drawing on work by Otto Hölder. As with many other inequalities, there is a version involving integrals.
J as in the Jordan inequality
It is named after the Frenchman Camille Jordan and is very easy to visualize. Indeed, for x whose absolute value is less than π/2, we have:
2πx≤sin⁡x≤x.\frac{2}{\pi}x \leq \sin x\leq x.
Marie Ennemond Camille Jordan (1838‒1922).
M as in the Minkowski inequality
Like Hölder's inequality, it applies to real numbers and has extensions to series and integrals. If x1, x2… *xn and y*1, y2… *yn are real numbers and p* is a real number greater than or equal to 1, then:
\begin{align} &(| x_1+y_1| ^p+| x_2+y_2| ^p+\cdots +| x_n+y_n| ^p)^{1/p} \nonumber \\\ & \leq (| x_1| ^p+| x_1| ^p+\cdots +| x_n| ^p)^{1/p} \nonumber\\\ & +(| y_1| ^p+| y_1| ^p+\cdots +| y_n| ^p)^{1/p}.\nonumber \end{align}
For p = 1, it is a consequence of the triangle inequality and, for p > 1, of the convexity of the function that maps x ≥ 0 to *xp* and of Hölder's inequality.
It is named for the German mathematician Hermann Minkowski (1864‒1909), known for his work in the geometry of numbers, convexity, and spacetime (the four-dimensional framework underpinning general relativity, developed by Albert Einstein).
S as in the Schur inequality
If x, y and z are non-negative real numbers and if r is a strictly positive real number, we have:
*xr(x ‒ y)(x ‒ z) + yr(y ‒ x)(y ‒ z) + zr(z ‒ x)(z ‒ y*) ≥ 0.
It is named after the Russian mathematician Issai Schur (1875‒1941), who lent his name to a great many results in mathematics.
Tch as in the Tchebychev inequality
Let us consider the real numbers x1, x2… *xn and y*1, y2… *yn such that x*1 ≥ x2 ≥ … ≥ *xn and y*1 ≥ y2 ≥ … ≥ *yn*. Then we have:
\begin{align} & \frac{1}{n}(x_1y_1+x_2y_2+\cdots + x_ny_n)\nonumber \\\ &\leq \frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n)\times \frac{1}{n}(y_1+y_2+\cdots +y_n). \nonumber \end{align}
Depending on whether the real numbers x1, x2… *xn and y*1, y2… *yn* form increasing or decreasing sequences, there are other inequalities (see the article “Tchebychev and monotone sequences”). Not to be confused with the Bienaymé‒Tchebychev inequality (see also the article “In probability: the Bienaymé-Tchebychev inequality”).
Tri as in the triangle inequality
Often called the queen of inequalities, it appeared in Euclid's Elements around ‒300 and states that, in a triangle ABC, the length of one side is less than or equal to the sum of the lengths of the other two sides: AC ≤ AB + BC (see page 10). In everyday language: the shortest path between two points is a straight line!
This inequality is fundamental to the mathematical notion of distance (see Distances, Tangente Library 81, 2023).
We as in the Weitzenböck inequality
In a triangle whose sides have lengths a, b and c and whose area is denoted by Δ, we have:
a2+b2+c2≥43 Δ.a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}\,\Delta .
It is named after the Austrian mathematician Roland Weitzenböck (1885‒1955).
According to the formula established by the Greek mathematician Heron of Alexandria, who lived in the 1st century, the area Δ of the triangle is equal to p(p−a)(p−b)(p−c)\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} where p is the triangle's semiperimeter, that is, p = (a + b + c) / 2.
Wi as in the Wirtinger inequality
It involves integrals, like one form of the Cauchy‒Schwarz inequality or Jensen's inequality, but it is probably a little less well known. Proved by the Austrian mathematician Wilhelm Wirtinger (1865‒1945), it has several forms, which are shown to be equivalent. Under certain assumptions, it establishes a relation between the integral of the square of a function and the integral of the square of its derivative.
Let f be a function defined on an interval [a, b] (with a < b) taking values in R. If it is of class C1 on [a, b] (that is, continuous and differentiable, with a continuous derivative) and if f (a) = f (b) = 0, then we have the following inequality:
∫abf2dx≤(b−a)2π2∫abf′2(x)dx.\int_{a}^{b}f^2dx\leq \frac{(b-a)^2}{\pi ^2}\int_{a}^{b}f'^2(x)dx.
Y as in the Young inequality
The simplest form of this inequality concerns real numbers: it states that, if x and y are non-negative real numbers and if p and q are real numbers strictly greater than 1 such that 1p+1q=1\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 then we have xy≤xpp+yqq.xy\leq \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.
It was proved by the British mathematician William Henry Young (1863‒1942), to whom we also owe the Taylor‒Young theorem, generalizing the mean value theorem. Several proofs exist, including one using Jensen's inequality. This inequality also has a version involving integrals.