Les inégalités

Comparar cantidades es una de las actividades más naturales: ¿quién posee menos objetos, o el campo más grande? Antes de conocer todos los trucos matemáticos que permiten aumentar la superficie de su terreno o un capital precioso, es útil volver a los orígenes geométricos de la cuestión, para visualizar bien las cantidades en juego. La desigualdad del triángulo y el truco de Dido aún nos sorprenden hoy por su fecundidad.

Mejorar, ganar un poco por aquí, evitar perder demasiado por allá, optimizar… todo eso es competencia del análisis. Si la intuición geométrica nos sirve para comparar, es el análisis matemático el que nos va a permitir cuantificar las variaciones y así maximizar o minimizar numerosas expresiones. Entre las estrellas del campo, encontramos la desigualdad aritmético-geométrica, bien conocida por los estudiantes de secundaria, y la de Cauchy‒Schwarz, más avanzada pero de una potencia formidable.

En numerosos campos matemáticos, las desigualdades desempeñan un papel importante. Este es el caso, por ejemplo, en probabilidades, con la desigualdad de Bienaymé‒Tchebychev, o en todo lo relacionado con la optimización. Muchos fenómenos físicos también se modelizan mediante desigualdades; la termodinámica nos ofrece un ejemplo impresionante. En ciencias económicas y sociales, el estudio de las desigualdades es un tema central, ya sea que se trate de riqueza, trabajo, vivienda, educación…