Il viaggio potrebbe essere molto lungo, tanto è grande il numero delle disuguaglianze matematiche celebri e utili. Così, anche limitandoci alle più «semplici», incontriamo già delle «star», disuguaglianze potenti e importanti.
A come disuguaglianza di Aristarco --------------------------------
Se α e β sono le ampiezze di due angoli acuti, misurate in gradi o in radianti, e se β < α, si ha:
sin⁡αsin⁡β<αβ<tan⁡αtan⁡β.\frac{\sin \alpha}{\sin\beta } < \frac{\alpha }{\beta }< \frac{\tan\alpha }{\tan\beta }.
Porta il nome dell’astronomo greco Aristarco di Samo, il quale pensava, diciassette secoli prima di Copernico, che i pianeti ruotassero attorno al Sole.

Aristarco di Samo (circa ‒310; circa ‒230), raffigurato in

Harmonia Macrocosmica di Andreas Cellarius (1660).
AF come disuguaglianza degli incrementi finiti ---------------------------------------------
Uno dei teoremi fondamentali del calcolo differenziale per le funzioni a valori in R\Bbb{R} è il teorema degli incrementi finiti. Generalizza il teorema di Rolle, dimostrato nel 1691 da Michel Rolle (1652‒1719). Ecco il suo enunciato: se una funzione f è definita su un intervallo [a, b] (con a < b) a valori in R\Bbb{R}, ed è continua su [a, b] e derivabile su ]a, b[, allora esiste c appartenente a ]a, b[ tale che f (b) ‒ f (a) = (b ‒ a) f’(c).
In questa forma moderna, fu dimostrato nel 1823 da Augustin-Louis Cauchy (1789‒1857). Il teorema può essere scritto sotto forma di disuguaglianza. Infatti, se f è continua su [a, b] e derivabile su ]a, b[ ed esiste una costante M ≥ 0 tale che | f’(t) | ≤ M per ogni t appartenente a ]a, b, allora si ha la disuguaglianza degli incrementi finiti:
| f (b) ‒ f (a) | ≤ (b ‒ a) × M.
Il teorema degli incrementi finiti non si generalizza alle funzioni vettoriali, cioè a valori in Rn\Bbb{R} ^n (con n ≥ 2). La disuguaglianza degli incrementi finiti, invece, si generalizza, e questo risultato, da solo, è più che sufficiente nella maggior parte delle applicazioni.
Bern come disuguaglianza di Bernoulli -----------------------------------
Esprime che, per ogni numero intero n strettamente maggiore di 1 e ogni numero reale x maggiore o uguale a ‒1, vale la relazione (1 + x)*n ≥ 1 + nx*.
Enunciata nel 1689 da Jacques Bernoulli (1654‒1705) a proposito di un calcolo di interessi, fu probabilmente stabilita in precedenza. Si dimostra per induzione su n. Infatti, la disuguaglianza è vera per n = 2: (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 ≥ 1+2x poiché x2 ≥ 0. Supponiamo che sia vera per n fissato; allora (1 + x)*n ≥ 1 + nx*. Ora (1+x)*n*+1 = (1+x)*n(1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x*) per l’ipotesi induttiva; poi, sviluppando: (1 + x)*n*+1 ≥ 1 + (n + 1)x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x poiché nx2 ≥ 0. Il risultato è dunque vero al passo n + 1. Per il principio di induzione, è quindi vero per ogni n.
Questa disuguaglianza si generalizza sostituendo il numero intero n con il numero reale r che soddisfa una relazione analoga: r ≥ 1. Per dimostrare questa nuova disuguaglianza occorre allora il calcolo differenziale.
Berns come disuguaglianza di Bernstein ------------------------------------
Riguarda i polinomi definiti sui numeri complessi e le loro derivate. Se P è un polinomio complesso di grado minore o uguale a n e se k è un numero intero, si ha:
max⁡∣z∣≤1∣P(k)(z)∣≤n!(n−k)!max⁡∣z∣≤1∣P(z)∣.\max_{| z| \leq 1}|\mathrm{P}^{(k)}(z)| \leq \frac{n!}{(n-k)!} \max_{| z|\leq 1} | \mathrm{P}(z)|.
I valori massimi sono assunti sull’insieme dei numeri complessi di modulo minore o uguale a 1. L’uguaglianza si ha per il polinomio P(z) = *azn*. Questa disuguaglianza fu ottenuta negli anni 1910 da Sergej Natanovič Bernstein (1880‒1968) nel corso dei suoi lavori sulla teoria dell’approssimazione.
CS come disuguaglianza di Cauchy‒Schwarz --------------------------------------
Dimostrata inizialmente da Cauchy e pubblicata nel 1821, riguarda i numeri reali x1, x2… e *xn da una parte, e y*1, y2… e *yn* dall’altra. Si ha:
∣x1y1+x2y2+⋯+xnyn∣≤x12+x22+⋯+xn2 y12+y22+⋯+yn2.| x_1y_1+x_2y_2+\cdots +x_ny_n| \leq \sqrt{x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_n}\,\sqrt{y^2_1+y^2_2+\cdots +y^2_n}.
Fu poi generalizzata agli integrali dal russo Viktor Jakovlevič Bunjakovskij (1804‒1889) e dal tedesco Hermann Amandus Schwarz (1843‒1921); vedi l’articolo [« La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ».
E come disuguaglianza di Eulero ---------------------------
Se indichiamo con r e R i raggi rispettivi della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta, si ha 2r ≤ R. Questa disuguaglianza porta il nome di Leonhard Eulero (1707‒1783), che la pubblicò nel 1765. Tuttavia, era stata pubblicata in precedenza. Diventa un’uguaglianza quando il triangolo è equilatero.
FM come disuguaglianza dei fratelli Markov --------------------------------------
No, non sono i fratelli Marx, ben noti ai cinefili, bensì i «Markov brothers», più precisamente Andrej Andrejevič (1856-1922) e suo fratello Vladimir Andrejevič (1871‒1897), entrambi matematici russi; il primo è più noto per i suoi lavori sui processi stocastici, che portarono alla nozione oggi chiamata catena di Markov. La disuguaglianza che porta il loro nome riguarda i polinomi e le loro derivate. Se P è un polinomio reale di grado minore o uguale a n e se k è un numero intero, si ha:
max⁡−1≤x≤1∣P(k)(x)∣≤n2(n2−1)(n2−22)…(n2−(k−1)2)1×3×5×⋯×(2k−1)max⁡−1≤x≤1∣P(x)∣.\max_{-1\leq x\leq 1}| \mathrm{P}^{(k)}(x)| \leq \frac{n^2(n^2-1)(n^2-2^2)\ldots (n^2-(k-1)^2)}{1\times 3\times 5\times\cdots\times (2k-1)} \max_{-1\leq x\leq 1}| \mathrm{P}(x)|.
Negli anni 1890, Andrej dimostrò la disuguaglianza per k = 1 e fu Vladimir a generalizzarla per ogni numero intero k. L’uguaglianza si ha quando P è un polinomio di Čebyšëv. Questa disuguaglianza non contraddice quella di Bernstein (vedi più sopra), perché qui i valori massimi sono assunti sull’intervallo reale [‒1, 1] e non sul disco unitario del piano complesso.
H come disuguaglianza di Hölder -----------------------------
Questa disuguaglianza fu scoperta nel 1888, in una forma leggermente diversa, dal britannico Leonard James Rogers (1862‒1933), ma prese il nome di Otto Ludwig Hölder (1859‒1937), che ne diede un’altra dimostrazione e la pubblicò nel 1889.
Se x1, x2… *xn e y*1, y2… *yn sono numeri reali e se p e q* sono numeri reali strettamente maggiori di 1 tali che 1p+1q=1\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 allora:
\begin{align} &| x_1y_1+x_2y_2+\cdots +x_ny_n| \nonumber\\\ &\leq (| x_1|^p+| x_2| ^p +\cdots + | x_n| ^p\big )^{1/p} (| y_1| ^q+| y_2| ^q+\cdots +| y_n| ^q\big )^{1/q}.\nonumber \end{align}
È una generalizzazione della disuguaglianza di Cauchy‒Schwarz, che si ritrova ponendo p = q = 2. Esiste anche una versione con le serie e diverse versioni con gli integrali. Per esempio: se f e g sono funzioni integrabili sull’intervallo [a, b] e se p e q sono numeri reali strettamente
maggiori di 1 tali che 1p+1q=1\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 allora:
∫ab∣f(x)g(x)∣dx≤(∫ab∣f(x)∣pdx)1/p(∫ab∣g(x)∣qdx)1/q.\int ^b_a| f(x)g(x)| dx \leq \Big ( \int_{a}^{b}| f(x)| ^p dx \Big ) ^{1/p} \Big ( \int_{a}^{b}| g(x)| ^qdx ) ^{1/q}.
HH come disuguaglianza di Hermite‒Hadamard ---------------------------------------
Se una funzione f è convessa sull’intervallo [a, b], vi è integrabile (in senso di Lebesgue) e il suo integrale soddisfa le disuguaglianze
(b−a)f(a+b2)≤∫abf(x)dx≤(b−a)f(a)+f(b)2.(b-a)f\Big ( \frac{a+b}{2}\Big )\leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq (b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}.
Questa disuguaglianza fu scoperta nel 1883 da Charles Hermite (1822‒1901) e dimostrata indipendentemente dieci anni più tardi da Jacques Hadamard (1865‒1963). È una delle disuguaglianze fondamentali legate alla convessità. Ha un’interpretazione grafica evidente: il primo termine della disuguaglianza è l’area del trapezio ACDB, l’integrale è uguale all’area della regione in rosso e l’ultimo termine è l’area del trapezio AEFB.
I come disuguaglianza isoperimetrica -----------------------------------
Il problema, posto già nel IXº secolo avanti la nostra era, consiste nel trovare una disuguaglianza tra l’area interna a una curva chiusa e il suo perimetro, poi nel trovare la curva chiusa che abbia l’area maggiore con il perimetro minore. Se Δ è l’area interna alla curva e p il suo perimetro, si ha:
p2 ≥ 4πΔ.
Il caso di uguaglianza si verifica per un cerchio (vedi l’articolo « Il problema di Didone »).
I.A.G. come disuguaglianza aritmetico-geometrica ------------------------------------------------
Questa disuguaglianza riguarda le medie aritmetica e geometrica di n numeri reali x1, x2… e *xn* positivi o nulli. Si enuncia semplicemente (vedi l’articolo « Una storia di medie ben ordinate ») così:
x1x2…xnn≤1n(x1+x2+⋯+xn).\sqrt[n]{x_1x_2\ldots x_n}\leq \frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n).
J come disuguaglianza di Jensen ------------------------------
Questa disuguaglianza è legata alla nozione di funzione convessa (vedi pagina 18). Se f è una funzione convessa su un intervallo I, se x1, x2… *xn sono numeri reali appartenenti a I e se λ*1, λ2… *λn sono numeri reali positivi tali che λ*1 + λ2 + … + *λn* = 1, allora:
f (λ1x1 + λ2x2 + … + *λnxn) ≤ λ*1 f (x1) + λ2 f (x2) + … + *λnf (xn*).
L’ingegnere danese Johan Ludwig William Valdemar Jensen (1859‒1925) la dimostrò nel 1906; matematico per diletto, si basò su un lavoro di Otto Hölder. Come per molte altre disuguaglianze, ne esiste una versione integrale.
Jo come disuguaglianza di Jordan ------------------------------
Deve il suo nome al francese Camille Jordan e si visualizza molto bene. Infatti, per x minore (in valore assoluto) di π/2, si ha:
2πx≤sin⁡x≤x.\frac{2}{\pi}x \leq \sin x\leq x.
Marie Ennemond Camille Jordan (1838‒1922).
M come disuguaglianza di Minkowski --------------------------------
Come la disuguaglianza di Hölder, riguarda numeri reali e si generalizza con serie o integrali. Se x1, x2… *xn e y*1, y2… *yn sono numeri reali e se p* è un numero reale maggiore o uguale a 1, si ha:
\begin{align} &(| x_1+y_1| ^p+| x_2+y_2| ^p+\cdots +| x_n+y_n| ^p)^{1/p} \nonumber \\\ & \leq (| x_1| ^p+| x_1| ^p+\cdots +| x_n| ^p)^{1/p} \nonumber\\\ & +(| y_1| ^p+| y_1| ^p+\cdots +| y_n| ^p)^{1/p}.\nonumber \end{align}
Per p = 1, essa è una conseguenza della disuguaglianza triangolare; per p > 1, segue dalla convessità della funzione che, a x ≥ 0, associa *xp* e dalla disuguaglianza di Hölder.
Prende il nome dal matematico tedesco Hermann Minkowski (1864‒1909), noto per i suoi lavori sulla geometria dei numeri, sulla convessità e sullo spaziotempo (lo spazio a quattro dimensioni su cui si fonda la relatività generale sviluppata da Albert Einstein).
S come disuguaglianza di Schur ----------------------------
Se x, y e z sono numeri reali positivi o nulli e se r è un numero reale strettamente positivo, si ha:
*xr(x ‒ y)(x ‒ z) + yr(y ‒ x)(y ‒ z) + zr(z ‒ x)(z ‒ y*) ≥ 0.
Porta il nome del matematico russo Issai Schur (1875‒1941), che diede il proprio nome a moltissimi risultati matematici.
Tch come disuguaglianza di Chebyshev -----------------------------------
Siano i numeri reali x1, x2… *xn e y*1, y2… *yn tali che x*1 ≥ x2 ≥ … ≥ *xn e y*1 ≥ y2 ≥ … ≥ *yn*. Allora si ha:
\begin{align} & \frac{1}{n}(x_1y_1+x_2y_2+\cdots + x_ny_n)\nonumber \\\ &\leq \frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n)\times \frac{1}{n}(y_1+y_2+\cdots +y_n). \nonumber \end{align}
A seconda che i numeri reali x1, x2… *xn e y*1, y2… *yn* formino successioni crescenti o decrescenti, esistono altre disuguaglianze (vedi l’articolo «Chebyshev e le successioni monotone»). Da non confondere con la disuguaglianza di Bienaymé‒Chebyshev (vedi anche l’articolo «In probabilità: la disuguaglianza di Bienaymé-Chebyshev»).
Tri come disuguaglianza triangolare ----------------------------------
Senza dubbio la regina delle disuguaglianze! Comparsa negli Elementi di Euclide, intorno al ‒300, afferma che, in un triangolo ABC, la lunghezza di un lato è minore o uguale alla somma delle lunghezze degli altri due lati: AC ≤ AB + BC (vedi pagina 10). Espressa nel linguaggio di tutti i giorni: il cammino più breve fra due punti è la linea retta!
Questa disuguaglianza è alla base della nozione matematica di distanza (vedi Les Distances, Bibliothèque Tangente 81, 2023).
We come disuguaglianza di Weitzenböck -----------------------------------
In un triangolo i cui lati hanno lunghezza a, b e c e la cui area è indicata con Δ, si ha:
a2+b2+c2≥43 Δ.a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}\,\Delta .
Porta il nome del matematico austriaco Roland Weitzenböck (1885‒1955).
Ricordiamo che, in virtù della formula dimostrata dal greco Erone di Alessandria, vissuto nel 1º secolo, l’area Δ del triangolo è uguale a p(p−a)(p−b)(p−c)\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} dove p è il semiperimetro del triangolo, ossia p = (a + b + c) / 2.
Wi come disuguaglianza di Wirtinger ---------------------------------
Coinvolge integrali, come una delle forme della disuguaglianza di Cauchy‒Schwarz o la disuguaglianza di Jensen, ma è forse un po’ meno nota. Dimostrata dal matematico austriaco Wilhelm Wirtinger (1865‒1945), possiede diverse forme, di cui si dimostra l’equivalenza. Sotto certe ipotesi, stabilisce una relazione fra l’integrale del quadrato di una funzione e l’integrale del quadrato della sua derivata.
Se una funzione f è definita su un intervallo [a, b] (con a < b) a valori in R, è di classe C1 su [a, b] (cioè continua, derivabile e con derivata continua) e f (a) = f (b) = 0, allora si ha la seguente disuguaglianza:
∫abf2dx≤(b−a)2π2∫abf′2(x)dx.\int_{a}^{b}f^2dx\leq \frac{(b-a)^2}{\pi ^2}\int_{a}^{b}f'^2(x)dx.
Y come disuguaglianza di Young ----------------------------
La forma più semplice di questa disuguaglianza riguarda numeri reali: afferma che, se x e y sono numeri reali positivi o nulli e se p e q sono numeri reali strettamente maggiori di 1 tali che 1p+1q=1\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 allora si ha xy≤xpp+yqq.xy\leq \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.
Fu dimostrata dal matematico britannico William Henry Young (1863‒1942), al quale si deve anche il teorema di Taylor‒Young, che generalizza il teorema degli incrementi finiti. Ne esistono diverse dimostrazioni, una delle quali usa la disuguaglianza di Jensen. Anche questa disuguaglianza ammette una versione integrale.