Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: cinque varianti

-

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz deriva dal fatto che, in un piano euclideo (cioè dotato di un prodotto scalare), l’uguaglianza $\mathrm{\mid }(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\mathrm{\mid }\le \mathrm{\parallel }\overrightarrow{u}\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }\overrightarrow{v}\mathrm{\parallel }|\; \backslash left(\; \backslash overrightarrow\{u\},\; \backslash overrightarrow\{v\}\; \backslash right)|\; \backslash leq\; \backslash Vert\; \backslash overrightarrow\{u\}\; \backslash Vert\; \backslash Vert\; \backslash overrightarrow\{v\}\; \backslash Vert$ vale per ogni coppia di vettori non nulli. Questa disuguaglianza esprime il fatto che il valore assoluto di un coseno è minore o uguale a 1. Tuttavia, per n = 2 la si può dimostrare con un semplice calcolo o con un ragionamento geometrico.

Disuguaglianza geometrica: l’area di un parallelogramma è minore di quella di un rettangolo con lati della stessa lunghezza.

Disuguaglianza aritmetica, o di Cauchy, per n-uple: siano ( a₁, a₂, a₃… *a_n ) e ( b*₁, b₂, b₃… *b_n ) due n-uple* di numeri reali positivi.

Si ha allora: