Marcel Berger, grande geometra francese scomparso nell’ottobre 2016, amava dire: «Uno spazio affine è uno spazio vettoriale di cui si è dimenticata l’origine.» Con queste parole esprimeva il fatto che, nel primo, tutti i punti svolgono ruoli analoghi, mentre nel secondo il vettore nullo è un elemento privilegiato. In realtà, storicamente… prevalse l’approccio opposto!
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Descrivere il nostro spazio
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Fino all’inizio del 19º secolo, non si distingueva davvero la realtà fisica dalla sua formulazione matematica. Perciò alcune proprietà erano giustificate dall’evidenza visiva. Non occorreva allora definire una struttura matematica che rappresentasse lo spazio che ci circonda: sembrava discendere dalla nostra esperienza e dalla nostra intuizione. L’introduzione delle coordinate nel 17º secolo, con Renato Cartesio e poi Pierre de Fermat, aveva fatto capire che la scelta di un’origine O e di due punti A e B nel piano (tre nello spazio) permette di individuare qualunque punto M; in termini moderni, di esprimere le coordinate del vettore nella base . Senza dirlo, lavorare sulle coordinate equivaleva già a farlo in uno spazio vettoriale; sarebbero però occorsi due secoli per formalizzare questa struttura. Invertendo l’affermazione di Marcel Berger, si può dire che, storicamente, uno spazio vettoriale è uno spazio affine nel quale si è fissato un punto. Ma che cos’è uno spazio affine?
Un insieme è dotato di una struttura di spazio affine, associata a uno spazio vettoriale reale, mediante un’applicazione Θ dal prodotto cartesiano x in E che soddisfa le due condizioni seguenti, ponendo:
