Nella nomenclatura, l’aggettivo affine designa tutto ciò che riguarda le nozioni di rette e piani, ma esclude quanto concerne distanze, angoli e quindi ortogonalità. Queste ultime nozioni sono dette euclidee, dal nome del celebre matematico greco. Le prime sono perfettamente modellizzate nel quadro degli spazi vettoriali. Per le seconde occorre associare a una coppia di vettori un numero chiamato «prodotto scalare». Come si fa?
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Prodotto scalare e norma -------------------------
La nozione di prodotto scalare fu messa in evidenza da William Hamilton nell’ambito dei quaternioni, numeri in dimensione 4 da lui introdotti nel 1843. Poco dopo, matematici della scuola britannica di fisica matematica quali James Clerk Maxwell, Oliver Heaviside e Josiah Willard Gibbs preferirono definirlo mediante coordinate. Poniamoci nello spazio tridimensionale delle terne di numeri reali. Siano u = (x, y, z) e v = (x', y', z') due di esse. Il prodotto scalare è definito da (u | v) = xx' + yy' + zz'. Un calcolo elementare mostra che (u | v) = (v | u), che (u1+u2|v) = (u1| v) + (u2| v) e che, per ogni numero reale λ, (λu | v) = λ(u | v). La prima proprietà si chiama simmetria e le ultime due linearità rispetto alla prima variabile (quella rispetto alla seconda variabile segue immediatamente dalla simmetria). Naturalmente si può calcolare il prodotto scalare di un vettore per se stesso: si ottiene (u | u) = x2 + y2 + z2. Si osserva che questa quantità è sempre positiva, e persino strettamente positiva non appena il vettore u non è nullo. Vi si riconosce persino la formula del quadrato della distanza. Per questo la radice quadrata di questa quantità si chiama norma di u; si indica con N(u) oppure || u ||.
Questo approccio non è tuttavia del tutto soddisfacente, poiché è definito sulle terne di scalari e non su un qualunque spazio vettoriale E. Se E è di dimensione finita, si potrebbe scegliere una base B e ricondursi al caso presentato, ma B assumerebbe allora un ruolo privilegiato; cosa accadrebbe cambiandola? D’altra parte, ciò esclude gli spazi vettoriali di dimensione infinita che, come vedremo (nel riquadro), possono anch’essi essere dotati di tali strutture. Definiamo dunque un’applicazione f che associa a due vettori u e v un numero reale f (u, v), dotato delle proprietà di linearità rispetto alla prima variabile e di simmetria, e che soddisfa f (u, u) > 0 se u non è nullo. Lo scalare f (u, v), indicato con (u | v) o più semplicemente u.v, si chiama prodotto scalare dei vettori u e v.