Comporre trasformazioni geometriche

Risolvere un problema di geometria, nel piano o nello spazio tridimensionale, può talvolta rivelarsi arduo. Spesso conviene trasformarlo in un problema vettoriale e ricorrere a trasformazioni scelte opportunamente. Si possono allora comporre… o scomporre, sfruttando il calcolo vettoriale per giungere più facilmente alla conclusione.

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Trasformazioni puntuali e vettoriali ------------------------------------

Nel piano o nello spazio, una trasformazione è anzitutto una biiezione, ossia associa a ogni punto del piano (o dello spazio) uno e un solo punto del piano (o dello spazio). Conosciamo bene alcune trasformazioni geometriche. Ci sono invece meno familiari le trasformazioni vettoriali associate: passeremo da uno spazio di punti — che i matematici chiamano affine — a uno spazio vettoriale. A ogni trasformazione di uno spazio di punti (del piano o dello spazio) si associa dunque una trasformazione vettoriale: se f è una trasformazione puntuale che associa a ogni punto A il punto A’ e a ogni punto B il punto B’, allora la trasformazione vettoriale associata $\phi \backslash varphi$ è definita da $\phi (\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}\backslash varphi\; (\backslash overrightarrow\{AB\})\; =\; \backslash overrightarrow\{A\text{'}B\text{'}\}$, e si mostra facilmente che è lineare, ossia che $\phi (a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v})=a\phi (\overrightarrow{u})+b\phi (\overrightarrow{v})\backslash varphi\; (a\; \backslash overrightarrow\{u\}\; +\; b\; \backslash overrightarrow\{v\})\; =\; a\; \backslash varphi\; (\backslash overrightarrow\{u\}\; )\; +\; b\; \backslash varphi\; (\backslash overrightarrow\{v\}\; )$ per ogni coppia (a, b) di numeri reali.