L’analisi vettoriale
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Il sogno folle del matematico britannico William Hamilton era scoprire un insieme di numeri capace di trasformare le diverse isometrie dello spazio in semplici addizioni o moltiplicazioni. La scoperta dei quaternioni nel 1843 lo rafforzò in questa ambizione. Un quaternione è una coppia formata da uno scalare e un vettore. Moltiplicando (0, u) per (0, v), si ottengono due componenti: il prodotto scalare, a meno del segno, e il prodotto vettoriale, allora sconosciuti. Il fisico Josiah Gibbs comprese subito l’interesse di queste due nozioni. Con grande disappunto di Hamilton, preferì definirle direttamente, senza ricorrere ai quaternioni. In seguito si accorse che comparivano già nell’opera di Grassmann, pubblicata nel 1844. Altri studiosi, come Olivier Heaviside, seguirono il suo esempio e proseguirono questi lavori introducendo concetti legati allo studio di funzioni definite sullo spazio vettoriale e a valori scalari o vettoriali. Furono così definiti il gradiente, la divergenza e il rotore, tanto utili soprattutto in fisica: è ciò che si chiama analisi vettoriale.
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Il prodotto misto
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Le basi ortonormali svolgono un ruolo fondamentale nello spazio euclideo tridimensionale. Il determinante di una tale base rispetto a un’altra vale sempre 1 o –1, poiché le due basi generano lo stesso volume. Possiamo dunque suddividerle in due classi (due elementi appartengono alla stessa classe se il determinante dell’una rispetto all’altra vale 1). Si sceglie una delle due classi, i cui elementi sono basi ortonormali dirette: questa operazione si chiama orientare lo spazio.
