Gli spazi vettoriali

L a notion d'espace vectoriel voit le jour progressivement tout au long du XIXe siècle, dans le but de formaliser l'espace qui nous environne. Des précurseurs visionnaires ont permis ce changement de point de vue en introduisant les bonnes notions de « base », de « dimension », de « déterminant », d' « application linéaire »… L'algèbre linéaire est devenue le cadre d'étude de nombreuses théories, en particulier en analyse. Aujourd'hui, avec le développement de l'outil informatique, l'algèbre linéaire s'implémente plus aisément grâce au calcul matriciel.

Si può trattare la geometria come un ramo dell'algebra? Questo è l'obiettivo dell'uso degli spazi vettoriali. I risultati sono spettacolari: « algebrizzare » la geometria permette di rivedere la più antica delle scienze, di generalizzarla a contesti inaspettati o più astratti, di guadagnare in rigore, di adottare un approccio più sistematico e computazionale, di ripensare la nozione di spazio, e di scoprire nuovi risultati! Questa nuova « matematica senza figure », conserva l'intuizione geometrica, ma va ben oltre… Estendendo la nozione di distanza introdotta dagli spazi euclidei, l'introduzione degli spazi vettoriali normati, che permette di ampliare il campo degli spazi vettoriali all'analisi funzionale, porta a una nuova raccolta di risultati e applicazioni.

Cosa ci portano i vettori e gli spazi vettoriali al di là di una presenza, come tutte le strutture matematiche, un po' ovunque intorno a noi? Un'apertura e un arricchimento del nostro approccio a numerosi domini, illustrati da alcuni esempi straordinari, dove questo cambiamento ha operato una vera e propria rivoluzione, accentuata dall'avvento di potenti strumenti di calcolo! Il « disegno vettoriale » nell'ambito della grafica, le somme favolose di testi o corpora in letteratura… E Yannis Xenakis in persona ha persino aperto la strada a interessanti tecniche « vettoriali » nell'ambito della composizione musicale…