Per Michel Chasles (1793–1880), l’antica geometria era «irta di figure», e già desiderava sottrarsi alle rappresentazioni particolari che, a suo avviso, imprigionavano un problema. Nel corso della storia della matematica furono compiuti numerosi tentativi in questa direzione, e la geometria vettoriale è uno di essi.
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La tentazione di una geometria senza figure ----------------------------------------
Già nel 17º secolo, se nell’opera di Renato Cartesio la figura conserva un ruolo centrale in geometria, il matematico e filosofo cerca, introducendo le coordinate, di algebrizzare la geometria e raccomanda, per risolvere un problema geometrico: «Fra tutte le linee curve che devono essere ammesse in geometria, occorre aver cura di scegliere sempre la più semplice con cui sia possibile risolverlo.» Anche Pierre de Fermat si muove in questa direzione, usando luoghi geometrici per risolvere alcuni problemi: «Si ottengono così la risoluzione e la costruzione esatta, e più semplice possibile, dei problemi di geometria mediante luoghi che, a seconda dei casi, danno origine a curve di specie diverse e adatte a tali problemi.» Poco dopo, in una lettera a Huygens del 1679, Gottfried Wilhelm Leibniz suggerisce «che ci occorre ancora un’altra analisi propriamente geometrica e lineare, che esprima direttamente la situazione come l’algebra esprime la grandezza» e propone una «geometria della situazione», ma la sua idea fu pubblicata soltanto nel 1833.
Poco dopo, Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) precisa nel suo trattato di Mécanique analytique: «In quest’opera non si troveranno figure. I metodi che vi espongo non richiedono né costruzioni né ragionamenti geometrici o meccanici, ma soltanto operazioni algebriche.» Gaspard Monge (1746–1818), con la sua geometria descrittiva, contribuì invece a eliminare la figura trasformandone il modo di rappresentazione, per liberarsi, come diceva, «da quella complicazione delle figure il cui uso distoglie l’attenzione dal nucleo delle idee». Michel Chasles, pur essendo uno dei maggiori geometri del suo tempo (vedi il nostro dossier in Tangente 160), non ebbe bisogno di figure per scrivere, nel suo Traité de Géométrie Supérieure (1852): «Presi tre punti a, b, c in un ordine qualunque su una stessa retta […] si avrà sempre ab + bc + ca = 0, attribuendo ai segmenti i segni appropriati.»