La geometria altrimenti
Si può trattare la geometria come un ramo dell'algebra? Questo è l'obiettivo dell'uso degli spazi vettoriali. I risultati sono spettacolari: « algebrizzare » la geometria permette di rivedere la più antica delle scienze, di generalizzarla a contesti inaspettati o più astratti, di guadagnare in rigore, di adottare un approccio più sistematico e computazionale, di ripensare la nozione di spazio, e di scoprire nuovi risultati! Questa nuova « matematica senza figure », conserva l'intuizione geometrica, ma va ben oltre… Estendendo la nozione di distanza introdotta dagli spazi euclidei, l'introduzione degli spazi vettoriali normati, che permette di ampliare il campo degli spazi vettoriali all'analisi funzionale, porta a una nuova raccolta di risultati e applicazioni.
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Dallo spazio vettoriale a quello affine… e viceversa!
L’algebra lineare nacque dall’esigenza di trovare un quadro per la geometria usuale. Dal punto di vista dei calcoli, è stato un successo! La semplificazione di alcune operazioni e manipolazioni, divenute più sistematiche, rende più semplice e rigoroso il ragionamento geometrico.
Una geometria senza figure
Michel Chasles l’aveva sognata, la teoria degli spazi vettoriali oggi lo rende possibile: si può fare geometria senza tracciare alcuna figura. Coesistono così due punti di vista, geometrico e algebrico, e ciascuno può scegliere quello in cui si sente più a suo agio!
Allineamento, complanarità, concorrenza... stesso discorso!
Le nozioni di punti e rette del piano sono duali: ai teoremi sugli allineamenti di punti corrispondono teoremi sulle concorrenze di rette. Questa dualità può essere definita geometricamente. La si ritrova persino nello spazio con la complanarità.
Comporre trasformazioni geometriche
Alcuni problemi geometrici, anche se in apparenza complessi, si chiariscono rapidamente ricorrendo alle trasformazioni geometriche e spesso si risolvono componendole. A questo scopo, conviene riformularli in termini vettoriali.
Primi esempi di spazi vettoriali (2)
Non esiste un buon spazio vettoriale E senza un campo di base K. Ma che cos’è esattamente un campo?
Traslazioni e rotazioni - Pillola matematica | Tangente
Le traslazioni e le rotazioni hanno numerose applicazioni. E non solo in geometria!
La lenta nascita degli spazi euclidei
La definizione assiomatica del prodotto scalare ha fornito un quadro rigoroso e fecondo per lo studio delle proprietà metriche, cioè quelle relative alle nozioni di distanza, angolo e ortogonalità. Per enucleare questa nozione si dovettero attendere gli anni Venti.
Prodotto vettoriale e prodotto misto
Definiti nello spazio euclideo tridimensionale, questi due prodotti derivano dai quaternioni di Hamilton. Sono diventati strumenti utili in geometria e in meccanica.