La antigua geometría estaba, para Michel Chasles (1793–1880), «erizada de figuras», y ya deseaba escapar de las representaciones particulares que, a su juicio, aprisionaban un problema. A lo largo de la historia de las matemáticas se han hecho numerosos intentos en esa dirección, y la geometría vectorial es uno de ellos.
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La tentación de una geometría sin figuras ----------------------------------------
Ya en el siglo 17.º, aunque la figura geométrica sigue siendo fundamental en la obra de René Descartes, el matemático y filósofo busca, con la introducción de las coordenadas, algebrizar la geometría y recomienda, para resolver un problema geométrico: «De todas las líneas curvas que deben admitirse en geometría, hay que procurar elegir siempre la más sencilla con la que sea posible resolverlo.» Pierre de Fermat también avanza en esta dirección y utiliza lugares geométricos para resolver ciertos problemas: «Se obtiene así la resolución y la construcción exacta, y lo más sencilla posible, de los problemas de geometría mediante lugares que, según el caso, nacen de curvas de especies diferentes y adecuadas para esos problemas.» Poco después, Gottfried Wilhelm Leibniz sugiere, en una carta a Huygens de 1679, «que aún necesitamos otro análisis, propiamente geométrico y lineal, que exprese directamente la situación como el álgebra expresa la magnitud», y propone una «geometría de la situación», pero su idea no se publicó hasta 1833.
Poco después, Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) precisa en su tratado de Mecánica analítica: «No se encontrarán figuras en esta obra. Los métodos que expongo en ella no requieren construcciones ni razonamientos geométricos o mecánicos, sino únicamente operaciones algebraicas.» Gaspard Monge (1746–1818), por su parte, contribuyó con su geometría descriptiva a eliminar la figura transformando su modo de representación, para, según decía, liberarse «de esa complicación de las figuras cuyo uso distrae de la atención debida al fondo de las ideas». Michel Chasles, sin embargo uno de los mayores geómetras de su tiempo (véase nuestro dossier en Tangente 160), no necesita ninguna figura para escribir, en su Tratado de geometría superior (1852): «Tomados tres puntos a, b, c en un orden cualquiera sobre una misma recta […] se tendrá siempre ab + bc + ca = 0, dando a los segmentos los signos que les correspondan.»