Para una semirrecta con origen en un punto O que corta una circunferencia (C) en los puntos A y B, el producto PC(O)=OA‾×OB‾\text{P}_{\text{C}} (\text{O}) = \overline{\text{OA}} \times \overline{\text{OB}} define la potencia del punto O respecto de la circunferencia (C). Esta noción puede definirse sencillamente a partir de la del ángulo inscrito y del ancestral teorema de Tales. Al estudiarla, Jakob Steiner descubrió, solo en 1824, la inversión, una transformación cuyos elementos, sin embargo, ya eran todos conocidos desde Euclides.
La inversión, el otro tema --------------------------
Una inversión i de polo O es, como las simetrías, una transformación involutiva, es decir, tal que i compuesta consigo misma es la identidad. Asocia a todo punto M distinto del polo O el punto imagen, u homólogo, M’ = i(M), situado en la recta (OM), tal que OM‾×OM’‾=k,\overline{\text{OM}} \times \overline{\text{OM'}} = k, donde k es un número real dado.
Por la evidente analogía entre esta expresión y la de la potencia de un punto, la constante k se denomina potencia de la inversión.
La circunferencia (C), de centro O y radio ∣k∣=OT,\sqrt{| k|} = \text{OT}, llamada circunferencia de inversión, es invariante punto por punto y constituye la frontera entre los puntos interiores y exteriores que la inversión intercambia. Todo punto N del segmento [IB] tendrá por imagen P = i (N) en el segmento [IA], y recíprocamente N = i (P).