Potencia de un punto
Un punto y una curva: es todo lo que se necesita para definir una noción geométrica de una eficiencia formidable, la potencia de un punto. El caso más conocido, aunque hoy ausente de los programas escolares, es la potencia de un punto respecto a una circunferencia, o más generalmente respecto a una cónica. Desde la Antigüedad, ¡Euclides podría haber desarrollado esta noción! Sin embargo, habrá que esperar hasta el siglo XIX para que Jakob Steiner se lance en un estudio sistemático de estas transformaciones. La potencia de un punto simplifica considerablemente la búsqueda de lugares geométricos y conduce a la noción de dualidad, abriendo así vastas y nuevas perspectivas.
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Una potencia útil
Hablar de la «potencia de un punto respecto de una circunferencia» puede parecer hoy anticuado. Sin embargo, esta hermosa noción geométrica tuvo su momento de gloria y su utilidad. Sus aplicaciones a diversas cuestiones matemáticas son muy fructíferas.
En las aulas de los años sesenta
En este programa de los años sesenta, las transformaciones geométricas se estudiaban de manera relativamente completa. Figuraban, por supuesto, las traslaciones (vistas en segundo curso de secundaria) y el grupo que formaban.
Una noción que viene de lejos
La potencia de un punto con respecto a una circunferencia aparece implícitamente ya en el libro III de los Elementos de Euclides. Esta noción, bastante elemental, se redefinirá en el siglo XIX y estará en la base de numerosas aplicaciones geométricas.
La inversión de la potencia
La noción de potencia definida respecto de una circunferencia conduce naturalmente a las de inversión y polares. Estas herramientas pedagógicas, desaparecidas de los programas escolares, desempeñan un papel central en el surgimiento del concepto de dualidad y de las representaciones de geometría no euclidiana.