En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, el producto de las longitudes de las diagonales es igual a la suma de los productos de las longitudes de sus lados opuestos.
Se cumple AC × BD = AB × CD + AD × BC.
Este teorema contiene en realidad el de Pitágoras: tomemos un rectángulo cuyos lados miden a y b y cuya diagonal mide c; es, en efecto, un cuadrilátero inscriptible, y el teorema de Ptolomeo afirma que c × c = a × a + b × b. ¡Es la relación de Pitágoras!
Ptolomeo demostró su teorema mediante la geometría clásica de los triángulos semejantes y el teorema del ángulo inscrito, según el cual los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales (véanse Le Cercle, Bibliothèque Tangente 36, 2009, y Les Angles, Bibliothèque Tangente 53, 2015). Aquí lo obtendremos como caso de igualdad en una desigualdad, utilizando en primer lugar el plano complejo, es decir, el plano euclidiano habitual en el que cada punto se localiza mediante su afijo (sus coordenadas consideradas como un número complejo).
