Per un quadrilatero inscritto in una circonferenza, il prodotto delle lunghezze delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti delle lunghezze dei lati opposti.
Si ha AC × BD = AB × CD + AD × BC.
Questo teorema contiene in realtà quello di Pitagora: prendete un rettangolo i cui lati hanno lunghezza a e b e la cui diagonale ha lunghezza c; è infatti un quadrilatero inscrivibile, e il teorema di Tolomeo afferma che c × c = a × a + b × b. È la relazione di Pitagora!
Tolomeo dimostrò il suo teorema con la geometria classica dei triangoli simili e il teorema dell’angolo alla circonferenza, secondo cui angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti (vedi Le Cercle, Bibliothèque Tangente 36, 2009 e Les Angles, Bibliothèque Tangente 53, 2015). Qui lo ricaveremo come caso di uguaglianza in una disuguaglianza, dapprima usando il piano complesso, cioè il consueto piano euclideo in cui ogni punto è individuato dal suo affisso (le sue coordinate considerate come un numero complesso).
