Le disuguaglianze

Comparer des quantités est une activité des plus naturelles : qui possède le moins d’objets, ou le plus grand champ ? Avant de connaître toutes les ficelles mathématiques qui permettent d’augmenter la superficie de son terrain ou un préceux capital, il est utile de revenir aux origines géométriques de la question, afin de bien visualiser les quantités en jeu. L’inégalité du triangle et l’astuce de Didon nous étonnent encore aujourd’hui par leur fécondité.

Migliorare, guadagnare un po' di qui, evitare di perdere troppo di là, ottimizzare… tutto ciò è competenza dell'analisi! Se l'intuizione geometrica ci serve per confrontare, è proprio l'analisi matematica che ci permetterà di quantificare le variazioni e così di maggiorare o di minorare numerose espressioni. Tra le protagoniste del campo, troviamo la disuguaglianza aritmetico-geometrica, ben nota agli studenti delle scuole superiori, e quella di Cauchy‒Schwarz, più avanzata ma di una potenza formidabile.

Dans nombre de domaines mathématiques, les inégalités jouent un rôle important. C’est le cas par exemple en probabilités, avec l’inégalité de Bienaymé‒Tchebychev, ou de tout ce qui relève de l’optimisation. Beaucoup de phénomènes physiques se modélisent eux aussi par des inégalités ; la thermodynamique nous en donne un exemple saisissant. En sciences économiques et sociales, l’étude des inégalités est un sujet central, qu’elles concernent la richesse, le travail, le logement, l’éducation…