L'analisi per ordinare
Migliorare, guadagnare un po' di qui, evitare di perdere troppo di là, ottimizzare… tutto ciò è competenza dell'analisi! Se l'intuizione geometrica ci serve per confrontare, è proprio l'analisi matematica che ci permetterà di quantificare le variazioni e così di maggiorare o di minorare numerose espressioni. Tra le protagoniste del campo, troviamo la disuguaglianza aritmetico-geometrica, ben nota agli studenti delle scuole superiori, e quella di Cauchy‒Schwarz, più avanzata ma di una potenza formidabile.
Tutti gli articoli di questo dossier
La disuguaglianza usuale nei numeri reali | Tangente
Quando se ne conosce il valore, è sempre possibile confrontare due numeri qualsiasi, interi, frazionari o reali, e dire quale dei due è il minore.
Risolvere una disequazione: metodi ed esempi | Tangente
Alcuni dei nostri lettori conservano probabilmente brutti ricordi delle disequazioni.
Medie ben ordinate: AM, GM, HM | Tangente
La media di due numeri si definisce «naturalmente» in base al contesto. Non sempre si tratta della consueta media aritmetica! Coesistono diverse nozioni, legate tra loro da stretti rapporti, come ben compresero Liouville, Cauchy e Jensen.
Tchebychev e le sue disuguaglianze sulle successioni | Tangente
Risultati elementari possono talvolta rivelarsi sorprendentemente fecondi e dare vita a una moltitudine di sviluppi e applicazioni. È il caso della disuguaglianza di Tchebychev.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: cinque varianti
La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz trova applicazione in diversi rami della matematica: analisi, aritmetica, geometria, probabilità... È così importante che ne sono state proposte numerose dimostrazioni molto diverse tra loro!
La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: dimostrazioni | Tangente
La disuguaglianza di Cauchy – Schwarz ha molte forme: può essere aritmetica, integrale, geometrica; la si ritrova persino nel calcolo delle probabilità. Seguiamo la storia della sua elaborazione, dalla formulazione numerica di Cauchy intorno al 1820 alla sua forma generale, cento anni più tardi.
Ordine nel disordine: riordinamento | Tangente
Prendete una successione di numeri a caso. È poco probabile che tutti questi numeri siano già ordinati in senso crescente o decrescente. Si può comunque sperare di estrarne successioni perfettamente ordinate? Sì, ma non necessariamente lunghe quanto si desidera!
Altre medie: armonica e aritmetica | Tangente
Le medie aritmetica, quadratica, geometrica, armonica (e molte altre) sono in realtà alcuni esempi di una famiglia generale, le medie di ordine p. Soddisfano una ben nota catena di disuguaglianze.
Un florilegio di disuguaglianze matematiche | Tangente
In matematica esistono molte disuguaglianze, che spesso fanno ricorso agli strumenti del calcolo differenziale o integrale. Molti problemi trovano soluzione grazie a queste disuguaglianze. Andiamo dunque a scoprirle!