Il matematico russo Pafnouti Tchebychev si distingue tanto per la qualità quanto per la varietà delle sue scoperte. Le sue ricerche in teoria dei numeri portarono a numerosi risultati che coinvolgono notevoli disuguaglianze. Una di esse, nota come «disuguaglianza di Tchebychev» (da non confondere con quella di Bienaymé‒Tchebychev, vedi l’articolo «In probabilità: la disuguaglianza di Bienaymé-Tchebychev») , è abbastanza semplice da dimostrare. Il suo interesse è grande: questa disuguaglianza interviene in dimostrazioni assai più tecniche, in particolare nella teoria dei numeri primi.
La disuguaglianza di Tchebychev
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Consideriamo due successioni di numeri reali, entrambe crescenti oppure entrambe decrescenti, con esattamente lo stesso numero di termini, cioè n. Indichiamo con a1, a2, a3… *an e b*1, b2, b3… *bn le due successioni. Esaminiamo, per esempio, il caso delle successioni decrescenti; il ragionamento è lo stesso per quelle crescenti. Per ipotesi, si ha ai ≥ ai *+1 e *bi ≥ bi *+1 per ogni numero intero i compreso tra 1 e n ‒ 1.
Vediamo, per qualunque i e j compresi tra 1 e n, che cosa si possa affermare sul prodotto (*ai ‒ aj)×(bi ‒ bj). Sappiamo anzitutto che i due fattori hanno lo stesso segno. Infatti, poiché la successione è decrescente, se i è minore di j, saranno entrambi positivi; saranno negativi se i è maggiore di j. Il loro prodotto è dunque positivo, eventualmente nullo, in particolare se i = j. Si ha quindi ai bi ‒ ai bj ‒ aj bi + aj bj* ≥ 0.
Sommiamo anzitutto tutti questi termini rispetto all’indice i.
