Lo studio di molti fenomeni comporta spesso la raccolta di valori numerici che rappresentano le misure oggettive di una serie di elementi caratterizzanti i fenomeni in questione. Consideriamo qui il caso semplificato in cui si misura un’unica caratteristica su un certo numero, n, di unità statistiche (oggetti in grado di fornire una misura). Questa situazione dà origine alla successione numerica x1, x2… *xn corrispondente alle n misure. Esempi di questo tipo sono frequenti nelle applicazioni. Si cerca allora di riassumere «nel miglior modo possibile» questo insieme di numeri, introducendo da un lato un valore centrale e dall’altro una misura della dispersione. Dopo i lavori di Carl Friedrich Gauss (1777‒1855), si sceglie spesso come valore centrale la media aritmetica e, come misura della dispersione, la varianza*. Il primo di questi parametri minimizza la somma dei quadrati degli scarti tra le misure effettuate e un qualunque numero costante; il secondo ripartisce questo scarto totale minimo sul numero di osservazioni.
Media e varianza -------------------
Indicando con m la media e con s2 la varianza, per definizione si può scrivere:
m=1n∑i=1nxies2=1n∑i=1n(si−m)2.m=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\quad\text{e}\quad s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(s_i-m)^2 .
La varianza non ha la stessa unità di misura della variabile studiata (se m è espresso in metri, s2 è espresso in metri quadrati; se m è espresso in euro, s2 è espresso in «euro quadrati», ecc.). Per ritrovare l’unità iniziale si introduce la deviazione standard s, definita come la radice quadrata positiva della varianza.