La complessità di problemi reali che si incontrano in economia, biologia, fisica, finanza, se non addirittura in matematica, fa sì che i metodi deterministici talvolta risultino insufficienti. Il ricorso a metodi numerici aleatori che sfruttano l’informatica si rivela allora di straordinaria utilità. Tra questi vi è il metodo Monte Carlo, messo a punto poco prima del 1950 dal fisico Nicholas Constantine Metropolis. In matematica si dimostra efficace soprattutto nel calcolo di integrali multipli, estesi a domini molto vasti, e in pratica fornisce risultati numerici più precisi dei metodi deterministici classici. Vediamo in che cosa consiste il suo principio in un caso elementare.
Riprodurre artificialmente il caso -------------------------------------
Per calcolare l’integrale I=∫01f(x)dx\text{I}=\int _0^1 f(x)dx, consideriamo il numero reale x (che varia tra 0 e 1) come una variabile aleatoria, per la quale occorre costruire una successione di valori x1, x2… xn indipendenti, distribuiti uniformemente nell’intervallo [0, 1[. Stimiamo allora l’integrale definito I con la relazione seguente, nella quale si riconosce la nozione di media:
I−1n∑i=1nf(xi).\text{I}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i).
La legge debole dei grandi numeri (o il teorema del limite centrale) fornisce un’idea piuttosto precisa della velocità di convergenza del metodo, che è dell’ordine di 1/n1/\sqrt{n} ed è proporzionale alla deviazione standard della variabile aleatoria f (x) che deriva dall’ipotesi di calcolo. In un caso semplice come il calcolo di I, questa velocità di convergenza può sembrare bassa. Offre però un duplice vantaggio. Da un lato, è insensibile alla dimensione dell’integrale. Dall’altro, non dipende dalla regolarità della funzione da integrare, purché questa sia a quadrato integrabile, ipotesi necessaria per l’esistenza della varianza di f (x).