Equazioni per le curve

Una curva parametrizzata è definita dalla posizione di un punto M(t) della curva in funzione di un parametro, spesso indicato con t perché, storicamente, rappresentava il tempo. Le coordinate (x,y) del punto M dipendono dunque da t: possiamo scrivere x = f (t) e y = g (t), dove f e g sono funzioni reali. A seconda dei casi, sono continue, di classe C¹ (le derivate esistono e sono continue), di classe C *ⁿ (le derivate esistono e sono continue fino all’ordine n*), di classe C^∞ (le derivate esistono per ogni ordine e sono dunque continue)…

Se vogliamo evitare curve troppo «patologiche», come quelle di Peano e Lebesgue (vedi l’articolo «Dare una definizione precisa? Non è così semplice!»), ci limiteremo ai casi in cui f e g sono almeno di classe C¹ sui rispettivi domini di definizione. In pratica, la classe C² basta in generale per studiare soddisfacentemente la curva, sia nel comportamento locale (tangente, centro e raggio di curvatura, punto di flesso…) sia nell’aspetto globale (variazioni, rami infiniti, convessità…). Vediamo un importante caso particolare. Data una funzione f di variabile reale a valori reali, spesso se ne cerca la rappresentazione grafica, cioè la curva di equazione y = f (x). Si tratta di un caso particolare di curva parametrizzata: una tale curva può infatti essere definita da x (t) = t e y (t) = f (t), dove t è il parametro. Lo studio di una curva parametrizzata è relativamente agevole. E altrettanto agevole è disegnarla dopo averla studiata. Inoltre, dall’avvento degli strumenti informatici (computer, calcolatrici grafiche…), la si può tracciare punto per punto, senza studiarla. Attenzione, dunque, a non ridurre la nozione di curva parametrizzata alla sua rappresentazione grafica!

$x(t)={\displaystyle \frac{t^3}{t^2-4}}x(t)\; =\; \backslash dfrac\{t^3\}\{t^2-4\}$ e $y(t)={\displaystyle \frac{t(t-3)}{t-2}}\mathrm{.}y(t)\; =\; \backslash dfrac\{t(t-3)\}\{t-2\}.$