Le curve ellittiche

Cubiche lisce -------------------

Nozione topologica, il genere di una curva polinomiale di grado n è uguale a ${\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}},\backslash dfrac\{(n-1)(n-2)\}\{2\},$ se non presenta punti singolari (si dice allora che è liscia). Per ogni punto doppio, il genere diminuisce di un’unità. Una cubica, curva algebrica di grado 3, sarà dunque ellittica se è liscia.

Le coniche, di genere nullo, sono dette razionali perché si possono parametrizzare mediante rapporti di polinomi, come nel caso della circonferenza unitaria: $x={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}},x\; =\; \backslash dfrac\{2t\}\{1+t^2\},$ $y={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}\mathrm{.}y\; =\; \backslash dfrac\{1-t^2\}\{1+t^2\}.$

Ogni curva razionale è unicursale (ossia tracciabile in un solo tratto, tenendo conto dei punti all’infinito), ma non vale il viceversa. La curva ellittica di genere 1, di equazione y ² = x ³ − x + 1 (rappresentata qui sotto), è unicursale ma non razionale. È invece parametrizzabile mediante funzioni ellittiche (nate storicamente dalla rettificazione dell’ellisse).