Alcune curve non giacciono in alcun piano. Il primo a osare intraprendere lo studio di questi audaci oggetti geometrici fu un giovane di appena 19 anni, Alexis Claude Clairaut (1713-1765), in una memoria di centotrentasette pagine intitolata Recherches sur les courbes à double courbure, pubblicata nel 1731. Il giovane padroneggiava perfettamente le sezioni coniche e il calcolo infinitesimale già all’età di 13 anni, presentando all’Académie royale des sciences una memoria sulle curve algebriche di quarto grado! Come confida nella prefazione, il metodo che sviluppò fu ispirato da Cartesio: «Ciò che egli [Cartesio] ne dice ci insegna semplicemente che, per esaminarle, occorre condurre da tutti i loro punti delle perpendicolari a due piani perpendicolari tra loro e riferire tutti i punti di queste curve ai punti di quelle che si ottengono in questo modo sui due piani.» Studiando due curve piane, Clairaut ne ricavò due «curvature». La terminologia attuale distingue piuttosto la curvatura e la torsione di una curva detta sghemba, ossia non contenuta in un piano.
Da Clairaut a Darboux ---------------------
Lo studio delle curve sghembe fu proseguito da Gaspard Monge (1746-1818) nella sua Mémoire sur les développées, les rayons de courbure, et les différens genres d’inflexions des courbes à double courbure, presentata all’Accademia nel 1771 e pubblicata quattordici anni dopo. Seguirono altre importanti comunicazioni, nelle quali Monge introdusse le nozioni di raggio di curvatura, polare, normale principale, superficie rigata sviluppabile generata dalle tangenti a una curva sghemba e di spigolo di regresso.
Monge scrisse con stile elegante, muovendosi di volta in volta tra geometria, analisi e calcolo differenziale. Ebbe l’intuizione della nozione di torsione, intesa come «scarto rispetto alla planarità», così come la curvatura è una misura dello «scarto rispetto alla retta».
Nel 1826, due anni prima di Gauss, Cauchy rese analitiche queste nozioni, adottando la terminologia introdotta dal politecnico Louis-Léger Vallée (1784-1864) nel suo Traité de géométrie descriptive. Infine, i matematici francesi Jean-Frédéric Frénet (1816-1900) e Joseph-Alfred Serret (1819-1885), poi Gaston Darboux (1842-1917), fissarono definitivamente un efficace quadro di studio per le curve sghembe.