Algunas curvas no se limitan a un plano. El primero que se atrevió a emprender el estudio de estos audaces objetos geométricos fue un joven de apenas 19 años, Alexis Claude Clairaut (1713–1765), en una memoria de ciento treinta y siete páginas titulada Recherches sur les courbes à double courbure, publicada en 1731. El joven dominaba a la perfección las secciones cónicas y el cálculo infinitesimal desde los 13 años, ¡pues presentó ante la Academia Real de Ciencias una memoria sobre las curvas algebraicas de cuarto grado! Como confiesa en su prefacio, el método que desarrolla se inspiró en Descartes: «Lo que él [Descartes] dice al respecto solo nos enseña que, para examinarlas, hay que trazar desde todos sus puntos perpendiculares a dos planos perpendiculares entre sí y referir todos los puntos de estas curvas a los puntos de las que se forman así en esos dos planos.» Al estudiar dos curvas planas, Clairaut obtiene de ellas dos «curvaturas». La terminología actual distingue más bien la curvatura y la torsión de una curva llamada alabeada, es decir, no contenida en un plano.
De Clairaut a Darboux ---------------------
El estudio de las curvas alabeadas prosiguió con Gaspard Monge (1746–1818), en su Mémoire sur les développées, les rayons de courbure, et les différens genres d’inflexions des courbes à double courbure, memoria presentada ante la Academia en 1771 y publicada catorce años más tarde. Siguieron otras comunicaciones importantes, en las que Monge introdujo las nociones de radio de curvatura, polar, normal principal, superficie reglada desarrollable engendrada por las tangentes a una curva alabeada y arista de regresión.
Monge escribe con un estilo elegante y se sitúa alternativamente en un marco geométrico, analítico o diferencial. Intuye la noción de torsión, entendida como «desviación respecto de la planaridad», del mismo modo que la curvatura mide la «desviación respecto de la recta».
En 1826, dos años antes que Gauss, Cauchy dota de carácter analítico a estas nociones y emplea la terminología introducida por el politécnico Louis-Léger Vallée (1784–1864) en su Traité de géométrie descriptive. Por último, los matemáticos franceses Jean-Frédéric Frénet (1816–1900) y Joseph-Alfred Serret (1819–1885), y después Gaston Darboux (1842–1917), fijan definitivamente un marco de estudio eficaz para las curvas alabeadas.