Las coordenadas polares constituyen otra forma de representar puntos de un plano euclídeo provisto de un sistema de referencia ortonormal (véase el recuadro del artículo « Ecuaciones para las curvas »). Se pasa fácilmente de las coordenadas polares ( ρ, θ ) de un punto M a sus coordenadas cartesianas mediante las relaciones x = ρ cos θ e y = ρ sin θ.
Lo interesante es que una curva del plano puede definirse entonces mediante una ecuación polar, una relación entre ρ y θ. Una circunferencia de centro O y radio R, o una recta que pasa por O y forma un ángulo α con , tienen una ecuación sencilla (respectivamente, ρ = R o θ = α ). Pero, en el caso general, una recta o una circunferencia se representan mediante ecuaciones más elaboradas.
Así, ρ = h / cos (θ – θ0 ) es la ecuación polar de la recta que forma un ángulo θ0 + π/2 con y se encuentra a una distancia h del origen (véase la figura). De ello se deduce la ecuación polar de una circunferencia que pasa por el origen, observando que la imagen, mediante una inversión* de centro O, de una recta que no pasa por O es una circunferencia que pasa por O.
Así, una circunferencia de radio R que pasa por O y cuyo centro C se encuentra en la recta (OH) tendrá por ecuación polar ρ = 2R cos (θ – θ0 ).
\ Una inversión de centro P y potencia k transforma un punto M en un punto M’ situado en la recta (PM), de modo que el producto de las medidas algebraicas y es igual a k*.
Circunferencias y rosáceas
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Elementos destacados de las catedrales y motivos arquitectónicos muy decorativos, en su origen los rosetones son curvas que evocan la forma de una rosa con sus pétalos, inscritas en una circunferencia y trazables con regla y compás. Los primeros planos del gran rosetón de la catedral de Estrasburgo (Bajo Rin), por ejemplo, son obra de Erwin de Steinbach en 1320. Proeza técnica del arte gótico, se traza a partir de la división de una circunferencia en treinta y dos «pétalos», y después mediante arcos apuntados y circunferencias concéntricas creados a partir de esta división.
Existen rosáceas más «elaboradas», definidas por su ecuación polar ρ = a cos (nθ ), una suerte de sinusoides en coordenadas polares, que fueron estudiadas por el matemático italiano Guido Grandi entre 1723 y 1728. Tienen n pétalos si n es impar y 2n pétalos si n es par.
Rosácea de veinte pétalos de ecuación polar ρ = cos(10 θ ).
Las espirales
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Otra curva armoniosa, la espiral también se ha usado mucho en arquitectura, tanto para decorar capiteles de columnas como portales de hierro forjado.
Las formas de espiral más frecuentes en el arte son las espirales de varios centros, que pueden trazarse solo con compás y están formadas por circunferencias enlazadas tangencialmente, y la espiral de Arquímedes, de ecuación polar ρ = a θ.
Espirales decorativas en la Maison Carrée de Nimes (Gard).
Motivo en espiral de hierro forjado.
Espiral de Arquímedes de ecuación polar ρ = θ /π.
