Una parábola a partir de tres puntos
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Partamos de tres puntos P0, P y P2. Apliquemos el siguiente algoritmo, que consta de dos etapas:
Denotamos por Q 0 y Q 1 los puntos medios de los dos segmentos [ P0P1 ] y [ P1P2 ];
Denotamos por R el punto medio del segmento [ Q 0Q 1 ].
Como resultado, obtenemos un punto R y dos ternas de puntos, P0, Q 0, R y R, Q 1, P2, a las que se puede aplicar de nuevo el algoritmo.
Todos los puntos construidos de este modo pertenecen a una parábola —que pasa, por tanto, por P0, R y P1—. El polígono P0P1P2 se denomina polígono de control de la parábola.
Este algoritmo, que consiste únicamente en trazar segmentos y hallar sus puntos medios, es fácil de aplicar —con regla y compás, o con cualquier programa de geometría dinámica—. También se adapta a los procesos de compresión, pues se le puede añadir un criterio de parada que dependa de la resolución deseada.
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Aumentar el grado
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El algoritmo de de Casteljau, utilizado para generar una parábola (véase más abajo), puede modificarse ligeramente añadiendo una etapa, de modo que pueda aplicarse a un polígono de cuatro vértices. Se genera entonces una curva cúbica.
Cuando los cuatro vértices del polígono no son coplanarios, la curva cúbica tampoco lo es; estamos entonces ante una curva alabeada.
Un polígono de control de n vértices, con tres vértices consecutivos no alineados, generará una curva de grado n.
Recortar las esquinas
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Otro algoritmo para generar curvas, debido a George Chaikin, consiste en «recortar las esquinas» (es el proceso de corner-cutting) de un polígono de control. El polígono obtenido en cada etapa está entonces «cada vez más cerca» de la curva límite. Al recortar cada lado del polígono de control en una cuarta parte de su longitud en cada uno de sus dos extremos y repetir el proceso, la curva límite es una curva spline de grado 2, es decir, una curva compuesta por arcos de parábola enlazados con continuidad C 1.
Las figuras muestran las curvas obtenidas tras una, dos
y cinco iteraciones del proceso.
