Una parabola a partire da tre punti -------------------------------------
Partiamo da tre punti P0, P e P2. Applichiamo il seguente algoritmo, che comprende due passaggi:
Indichiamo con Q 0 e Q 1 i punti medi dei due segmenti [ P0P1 ] e [ P1P2 ]; indichiamo con R il punto medio del segmento [ Q 0Q 1 ].
Al termine si ottengono un punto R e due terne di punti, P0, Q 0, R e R, Q 1, P2, sulle quali si può reiterare l’algoritmo.
Tutti i punti costruiti in questo modo appartengono a una parabola, che passa dunque per P0, R e P1. Il poligono P0P1P2 è detto poligono di controllo della parabola.
Questo algoritmo, che richiede soltanto di tracciare segmenti e di determinarne il punto medio, è facile da realizzare, con riga e compasso oppure con qualunque software di geometria dinamica. Si adatta inoltre ai processi di compressione, poiché gli si può aggiungere un criterio di arresto che dipende dalla risoluzione desiderata.
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Aumentare il grado ------------------
L’algoritmo di de Casteljau — si tratta appunto dell’algoritmo di de Casteljau — usato per generare una parabola (vedi sotto) può essere leggermente modificato, aggiungendo un passaggio, così da poter essere applicato a un poligono con quattro vertici. Si genera allora una cubica.
Quando i quattro vertici del poligono non sono complanari, non lo è nemmeno la cubica: si ha allora una curva sghemba.
Un poligono di controllo con n vertici, tre dei quali consecutivi non allineati, genera una curva di grado n.
Tagliando gli angoli --------------------
Un altro algoritmo per generare curve, dovuto a George Chaikin, consiste nel «tagliare gli angoli» (è il processo di corner-cutting) a partire da un poligono di controllo. Il poligono ottenuto a ogni passaggio è quindi «sempre più vicino» alla curva limite. Accorciando ciascun lato del poligono di controllo di un quarto della sua lunghezza a entrambe le estremità e reiterando il processo, si ottiene come curva limite una curva spline di grado 2, cioè una curva composta da archi di parabola raccordati con continuità C 1.

Le figure mostrano le curve ottenute dopo una, due

e cinque iterazioni del processo.