Dai tempi di Cartesio è consuetudine caratterizzare un punto del piano euclideo mediante le sue due coordinate in un sistema di riferimento arbitrario. Ma, per uno studio analitico delle proprietà del triangolo, scegliere un vertice come origine o un lato come vettore di base spezza la simmetria intrinseca, cosa che urta il geometra guidato da efficaci principi estetici. L’espressione di un risultato deve restare invariante per ogni permutazione dei vertici del triangolo. Occorrono dunque tre coordinate, legate però da una relazione, poiché il problema è piano e quindi di dimensione 2. È questo il principio delle coordinate trilineari e delle coordinate baricentriche, che useremo qui per determinare punti e curve notevoli del triangolo.
Le coordinate triangolari
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Per ogni punto P del piano definito dai punti non allineati A, B e C, i tre vettori e sono linearmente dipendenti, dunque legati da una relazione della forma
Il punto P è allora detto baricentro dei punti (A, B, C), cui sono rispettivamente associati i coefficienti (α, β, γ). Per indicare che il baricentro resta invariato sostituendo (α, β, γ) con valori proporzionali ( μα, μβ, μγ), si potrà scrivere indifferentemente P ( μα : μβ : μγ) oppure P (α : β : γ).
Ciò giustifica la denominazione di coordinate omogenee, introdotta da Möbius nel 1827. Si chiama infatti funzione omogenea di grado p una funzione f di n variabili tale che
f ( λ x1, λ x2… λ *xn ) = λ p f ( x*1, x2… xn ) per ogni numero reale λ, e le coordinate baricentriche sono omogenee di grado 0 poiché ( λα : λβ : λγ) = λ0(α : β : γ).
