Le curve di Lissajous
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Le curve di Lissajousm (a, b, φ) possono essere definite dalle equazioni parametriche x (θ) = Ra sin(a θ), y (θ) = Rb sin(b θ + φ), con a e b due numeri naturali (i parametri o le frequenze). Nelle nostre applicazioni, a e b saranno due numeri interi. R *a e R b sono due numeri reali positivi, l’angolo θ varia tra 0 e 2π e φ (lo sfasamento) varia tra 0 e π/(2a*). Furono studiate in particolare dal fisico francese Jules Lissajous (1822 −1880).
Fissiamo un numero naturale non nullo a. Le curve di Lissajous m (a, a, π /2) descrivono circonferenze, le curve m (a, 2a, π/2) sono porzioni di parabole, mentre le m (2a, a*, π/2) rappresentano caratteristici «8».
Nella terminologia dell’autore, alcune curve, dette trecce, hanno due assi di simmetria. Altre, le corna, mostrano due punti di cuspide e un asse oppure un centro di simmetria. Il corno più semplice è l’arco di parabola; la circonferenza e l’«8» sono le più semplici tra le trecce. Per φ = 0, se a + b è dispari, si ha una treccia; se a + b è pari, si ha un corno. Se φ aumenta di π/(2a), a una treccia seguirà un corno e viceversa.
Curva di Lissajous con Ra =Rb =1, a = 1, b =6 e φ = 0.
Le trecce possiedono due assi di simmetria.
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Le corna possiedono un asse o un centro di simmetria.
Una curva di Lissajous che non è né intrecciata né cornuta.
Monovirette e bivirette
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Secondo l’autore, una monovirette è una curva di Lissajous m (a, b, φ). Una bivirette, o virette a due strati*, è la somma di due curve di Lissajous; la sua espressione parametrica è dunque:
x (θ) = R a*1 sin(a1θ) + R *a*2 sin(a2θ), y (θ) = R *b*1 sin(b1θ + φ1) + R *b*2 sin(b2θ + φ2)
con a1, a2, a3, a4 quattro numeri interi.
Per semplificare, porremo R *a*1 = R *a*2 = R *b*1 = R *b*2 = 1 e φ1 = φ2= π/2.
Lo studio di queste bivirette «semplificate» pone già interessanti questioni di combinatoria (quanti assi o centri di simmetria, in funzione delle frequenze?) e produce meravigliose curve.
In generale, una k-virette o virette a k strati è la somma di k curve di Lissajous. Quanto più k aumenta, tanto più vari sono i motivi ottenuti, ma tanto più difficile ne diventa lo studio.
Le bivirette m ( 2, 2, π /2 ) + m ( 5, 7, π /2 ) e m ( 7, 7, π /2 ) + m ( 3, 5, π /2 ).
Le striature
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Una striatura, o virette a striature (espressioni proposte dall’autore), è una k-virette con k ≥ 2 tale che le curve di Lissajous da cui deriva sono collegate graficamente da striature (tra la prima curva e la somma delle due curve, per valori di θ uniformemente distribuiti tra 0 e 2π ). Visivamente, queste curve suggeriscono talvolta un «effetto di rilievo» che può interessare artisti e grafici.
