Las curvas de Lissajous
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Las curvas de Lissajous m (a, b, φ) pueden definirse mediante las ecuaciones paramétricas x (θ) = Ra sin(a θ), y (θ) = Rb sin(b θ + φ), donde a y b son dos números naturales (los parámetros o las frecuencias). Para nuestras aplicaciones, a y b serán dos números enteros. R *a y R b son dos números reales positivos, el ángulo θ varía entre 0 y 2π, y φ (el desfase) varía entre 0 y π/(2a*). Entre otros, estas curvas fueron estudiadas por el físico francés Jules Lissajous (1822 −1880).
Fijemos a un número natural no nulo. Las curvas de Lissajous m (a, a, π /2) describen circunferencias; las curvas m (a, 2a, π/2) son porciones de parábolas, mientras que las m (2a, a*, π/2) representan unos «8» característicos.
En la terminología del autor, algunas curvas, llamadas trenzas, tienen dos ejes de simetría. Otras, los cuernos, presentan dos puntos de retroceso y bien un eje, bien un centro de simetría. El cuerno más sencillo es el arco de parábola; la circunferencia y el «8» son las trenzas más sencillas. Para φ = 0, si a + b es impar, tenemos una trenza; si a + b es par, se trata de un cuerno. Si φ aumenta en π/(2a), a una trenza le sucederá un cuerno, y recíprocamente.
Curva de Lissajous con Ra =Rb =1, a = 1, b =6 y φ = 0.
Las trenzas poseen dos ejes de simetría.
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Los cuernos poseen un eje o un centro de simetría.
Una curva de Lissajous que no es ni trenzada ni cornuda.
Monoviretas y biviretas
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Según el autor, una monovireta es una curva de Lissajous m (a, b, φ). Una bivireta, o vireta de dos capas*, es la suma de dos curvas de Lissajous; su expresión paramétrica es, por tanto:
x (θ) = R a*1 sin(a1θ) + R *a*2 sin(a2θ), y (θ) = R *b*1 sin(b1θ + φ1) + R *b*2 sin(b2θ + φ2)
donde a1, a2, a3, a4 son cuatro números enteros.
Para simplificar, tomaremos R *a*1 = R *a*2 = R *b*1 = R *b*2 = 1 y φ1 = φ2= π/2.
El estudio de estas biviretas «simplificadas» plantea ya interesantes cuestiones de combinatoria (¿cuántos ejes o centros de simetría hay en función de las frecuencias?) y da lugar a maravillosas curvas.
En general, una k-vireta o vireta de k capas es la suma de k curvas de Lissajous. Cuanto más aumenta k, más variados son los motivos obtenidos, pero más difícil resulta estudiarlos.
Las biviretas m ( 2, 2, π /2 ) + m ( 5, 7, π /2 ) y m ( 7, 7, π /2 ) + m ( 3, 5, π /2 ).
Las estrías
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Una estría, o vireta con estrías (expresiones propuestas por el autor), es una k-vireta con k ≥ 2 tal que las curvas de Lissajous de las que procede están unidas gráficamente por estrías (entre la primera curva y la suma de las dos curvas, para valores de θ equidistribuidos entre 0 y 2π). Visualmente, estas curvas sugieren a veces un «efecto de relieve» que puede interesar a artistas y diseñadores gráficos.
