Desde Descartes, se ha vuelto habitual caracterizar un punto del plano euclídeo mediante sus dos coordenadas en un sistema de referencia arbitrario. Pero, para un estudio analítico de las propiedades del triángulo, al geómetra guiado por eficaces principios estéticos le resulta chocante romper la simetría intrínseca eligiendo un vértice como origen o un lado como vector de base. La expresión de un resultado debe ser invariante ante cualquier permutación de los vértices del triángulo. Por ello intervienen tres coordenadas, ligadas por una relación —pues el problema es plano y, por tanto, de dimensión 2—. Este es el principio de las coordenadas trilineales y de las coordenadas baricéntricas, que emplearemos aquí para determinar puntos y curvas notables del triángulo.
Las coordenadas triangulares
-----------------------------
Para cualquier punto P del plano determinado por los puntos A, B y C no alineados, los tres vectores y son dependientes y, por tanto, están ligados por una relación de la forma
Entonces se dice que el punto P es el baricentro de los puntos (A, B, C), afectados respectivamente por los coeficientes (α, β, γ). Para indicar que el baricentro no cambia al sustituir (α, β, γ) por valores proporcionales ( μα, μβ, μγ), escribiremos indistintamente P ( μα : μβ : μγ) o P (α : β : γ).
Esto justifica la denominación de coordenadas homogéneas dada por Möbius en 1827. En efecto, se llama función homogénea de grado p a una función f de n variables tal que
f ( λ x1, λ x2… λ *xn ) = λ p f ( x*1, x2… xn ) para todo número real λ, y las coordenadas baricéntricas son homogéneas de grado 0, puesto que ( λα : λβ : λγ) = λ0(α : β : γ).
