

Las nociones de puntos y rectas del plano son duales: a los teoremas sobre alineaciones de puntos corresponden teoremas sobre concurrencias de rectas. Esta dualidad puede definirse geométricamente. Incluso la encontramos en el espacio con la coplanaridad.



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Además del centro de gravedad, el ortocentro y dos centros de circunferencia conocidos de nuestra cultura escolar, pueden asociarse a los tres vértices del triángulo miles de puntos. Estas miríadas de puntos pertenecen a cientos de cúbicas de notables propiedades.

El uso de las coordenadas baricéntricas permite revisitar el teorema de Routh y sus aplicaciones a varios resultados de la geometría euclidiana.

La noción de potencia definida respecto de una circunferencia conduce naturalmente a las de inversión y polares. Estas herramientas pedagógicas, desaparecidas de los programas escolares, desempeñan un papel central en el surgimiento del concepto de dualidad y de las representaciones de geometría no euclidiana.

Confundir «tangente» y «asíntota» es un error muy habitual: ¿qué alumno no lo ha cometido alguna vez? Sin embargo, la distinción entre ambas nociones es bien clara. La exploración de ciertas construcciones de geometría proyectiva nos obligará, no obstante, a cuestionar nuestras certezas.
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