Componer transformaciones geométricas

Resolver un problema de geometría, en el plano o en el espacio tridimensional, puede resultar a veces arduo. A menudo conviene transformarlo en un problema vectorial e introducir transformaciones elegidas adecuadamente. Entonces podemos componerlas… o descomponerlas, y recurrir al cálculo vectorial para llegar más fácilmente a una conclusión.

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Transformaciones puntuales frente a vectoriales -------------------------------------------

En el plano o en el espacio, una transformación es ante todo una biyección; es decir, a cada punto del plano (o del espacio) le asocia uno y solo un punto del plano (o del espacio). Hay transformaciones geométricas que conocemos bien. Sin embargo, conocemos algo menos las transformaciones vectoriales asociadas: pasaremos de un espacio de puntos —que los matemáticos llaman afín— a un espacio vectorial. Así, a cada transformación de un espacio de puntos (del plano o del espacio) le asociamos una transformación vectorial: si f es una transformación puntual que a cada punto A le asocia A' y a cada punto B le asocia B', entonces la transformación vectorial asociada $\phi \backslash varphi$ se define mediante $\phi (\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}\backslash varphi\; (\backslash overrightarrow\{AB\})\; =\; \backslash overrightarrow\{A\text{'}B\text{'}\}$, y es fácil demostrar que es lineal; es decir, que $\phi (a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v})=a\phi (\overrightarrow{u})+b\phi (\overrightarrow{v})\backslash varphi\; (a\; \backslash overrightarrow\{u\}\; +\; b\; \backslash overrightarrow\{v\})\; =\; a\; \backslash varphi\; (\backslash overrightarrow\{u\}\; )\; +\; b\; \backslash varphi\; (\backslash overrightarrow\{v\}\; )$ para todo par (a, b) de números reales.