A Marcel Berger, gran geómetra francés fallecido en octubre de 2016, le gustaba decir: «Un espacio afín es un espacio vectorial del que hemos olvidado el origen.» Con estas palabras expresaba que, en el primero, todos los puntos desempeñan papeles análogos, mientras que, en el segundo, el vector nulo es un elemento privilegiado. Sin embargo, históricamente… ¡prevaleció el camino inverso!
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Describir nuestro espacio
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Hasta comienzos del 19.º siglo, no se distinguía realmente la realidad física de su formulación matemática. Por eso, ciertas propiedades se justificaban por la evidencia visual. Entonces no era necesario definir una estructura matemática que representara el espacio que nos rodea: parecía derivarse de nuestra experiencia y nuestra intuición. La introducción de las coordenadas en el 17.º siglo, con René Descartes y después Pierre de Fermat, permitió comprender que, dados un origen O y dos puntos A y B en el plano —tres en el espacio—, se puede localizar cualquier punto M; en términos modernos, expresar las coordenadas del vector en la base . Sin decirlo, trabajar con coordenadas ya equivalía a hacerlo en un espacio vectorial; sin embargo, harían falta dos siglos para formalizar esta estructura. Invirtiendo la afirmación de Marcel Berger, podemos decir que, históricamente, un espacio vectorial es un espacio afín en el que se ha fijado un punto. Pero ¿qué es un espacio afín?
Un conjunto está provisto de una estructura de espacio afín, asociada a un espacio vectorial real, mediante una aplicación Θ del producto cartesiano x en E que verifica las dos condiciones siguientes, donde:
