Les espaces vectoriels

El concepto de espacio vectorial surge progresivamente a lo largo del siglo XIX, con el objetivo de formalizar el espacio que nos rodea. Precursores visionarios permitieron este cambio de perspectiva al introducir los buenos conceptos de « base », de « dimensión », de « determinante », de « aplicación lineal »… El álgebra lineal se ha convertido en el marco de estudio de numerosas teorías, en particular en análisis. Hoy, con el desarrollo de la herramienta informática, el álgebra lineal se implementa más fácilmente gracias al cálculo matricial.

¿Se puede tratar la geometría como una rama del álgebra? Este es el enjeu del uso de los espacios vectoriales. Las repercusiones son espectaculares: « algebraicizar » la geometría permite revisar la más antigua de las ciencias, de generalizarla a contextos inesperados o más abstractos, de ganar en rigor, de adoptar un enfoque más sistemático y calculatorio, de repensar la noción de espacio, y de descubrir nuevos resultados. Esta nueva « matemática sin figuras », conserva la intuición geométrica, pero va mucho más allá... Al extender la noción de distancia introducida por los espacios euclidianos, la introducción de los espacios vectoriales normados, que permite ampliar el campo de los espacios vectoriales al análisis funcional, da lugar a una nueva cosecha de resultados y aplicaciones.

¿Qué nos aportan los vectores y los espacios vectoriales más allá de una presencia, como todas las estructuras matemáticas, un poco por todas partes a nuestro alrededor? Una apertura y un enriquecimiento de nuestro enfoque de numerosos ámbitos, ilustrados por algunos ejemplos impresionantes, donde este cambio ha operado una verdadera revolución, acentuada por la aparición de poderosas herramientas de cálculo. El «dibujo vectorial» en materia de gráficos, las cantidades fabulosas de textos o de corpus en literatura… Y Yannis Xenakis en persona incluso abrió el camino a interesantes técnicas «vectoriales» en materia de composición musical…