La geometría de otra manera
¿Se puede tratar la geometría como una rama del álgebra? Este es el enjeu del uso de los espacios vectoriales. Las repercusiones son espectaculares: « algebraicizar » la geometría permite revisar la más antigua de las ciencias, de generalizarla a contextos inesperados o más abstractos, de ganar en rigor, de adoptar un enfoque más sistemático y calculatorio, de repensar la noción de espacio, y de descubrir nuevos resultados. Esta nueva « matemática sin figuras », conserva la intuición geométrica, pero va mucho más allá... Al extender la noción de distancia introducida por los espacios euclidianos, la introducción de los espacios vectoriales normados, que permite ampliar el campo de los espacios vectoriales al análisis funcional, da lugar a una nueva cosecha de resultados y aplicaciones.
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De lo vectorial a lo afín… ¡y viceversa!
El álgebra lineal surgió de la necesidad de proporcionar un marco a la geometría habitual. Desde el punto de vista del cálculo, ¡lo ha conseguido! Al sistematizarse ciertas operaciones y manipulaciones, se simplifica y se hace más riguroso el razonamiento geométrico.
Una geometría sin figuras
Michel Chasles lo había soñado; la teoría de los espacios vectoriales lo permite ahora: se puede hacer geometría sin trazar figura alguna. Así, coexisten dos puntos de vista, el geométrico y el algebraico, ¡y cada cual puede situarse en el que se sienta más cómodo!
Alineación, coplanaridad, concurrencia... ¡la misma historia!
Las nociones de puntos y rectas del plano son duales: a los teoremas sobre alineaciones de puntos corresponden teoremas sobre concurrencias de rectas. Esta dualidad puede definirse geométricamente. Incluso la encontramos en el espacio con la coplanaridad.
Componer transformaciones geométricas
Algunos problemas geométricos, incluso complicados en apariencia, se aclaran rápidamente mediante transformaciones geométricas y a menudo se resuelven componiéndolas. Para ello, conviene reformularlos en términos vectoriales.
Primeros ejemplos de espacios vectoriales (2)
No hay buen espacio vectorial E sin un cuerpo base K. Pero ¿qué es exactamente un cuerpo?
Traslaciones y rotaciones - Breve de matemáticas | Tangente
Las traslaciones y las rotaciones tienen numerosas aplicaciones. ¡Y no solo en geometría!
La lenta aparición de los espacios euclidianos
La definición axiomática del producto escalar proporcionó un marco riguroso y fecundo para estudiar las propiedades métricas, es decir, las relativas a las nociones de distancia, ángulo y ortogonalidad. Hubo que esperar hasta la década de 1920 para precisar esta noción.
Producto vectorial y producto mixto
Definidos en el espacio euclídeo de dimensión 3, estos dos productos son herederos de los cuaternios de Hamilton. Se han convertido en herramientas útiles en geometría y mecánica.