En la nomenclatura, el adjetivo afín designa todo lo relativo a las nociones de rectas y planos, pero excluye lo que concierne a las distancias, los ángulos y, por tanto, la ortogonalidad. Estas últimas nociones se califican de euclidianas, en honor al célebre matemático griego. Las primeras se modelizan perfectamente en el marco de los espacios vectoriales. Para las segundas, hay que asociar a una pareja de vectores un número llamado «producto escalar». ¿Cómo se hace?
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Producto escalar y norma -------------------------
William Hamilton puso de manifiesto la noción de producto escalar en el marco de los cuaterniones, números de dimensión 4 que introdujo en 1843. Poco después, matemáticos de la escuela británica de física matemática, como James Clerk Maxwell, Oliver Heaviside o Josiah Willard Gibbs, prefirieron definirlo mediante coordenadas. Situémonos en el espacio tridimensional de las ternas de números reales. Sean u = (x, y, z) y v = (x', y', z') dos de ellas. El producto escalar se define por (u | v) = xx' + yy' + zz'. Un cálculo elemental muestra que (u | v) = (v | u), que (u1+u2|v) = (u1| v) + (u2| v) y que, para todo número real λ, (λu | v) = λ(u | v). La primera propiedad se llama simetría y las dos últimas, linealidad respecto de la primera variable (la correspondiente a la segunda variable se deduce inmediatamente gracias a la simetría). Naturalmente, podemos calcular el producto escalar de un vector consigo mismo; obtenemos (u | u) = x2 + y2 + z2. Esta cantidad es siempre positiva e incluso estrictamente positiva en cuanto el vector u no es nulo. Reconocemos la fórmula del cuadrado de la distancia. Por eso, la raíz cuadrada de esta cantidad se llama la norma de u; se denota N(u) o || u ||.
Sin embargo, este enfoque no es del todo satisfactorio, pues está definido sobre ternas de escalares y no sobre un espacio vectorial E cualquiera. Si E es de dimensión finita, podríamos tomar una base B y reducirnos al caso presentado, pero B desempeñaría entonces un papel privilegiado; ¿qué ocurriría si la cambiáramos? Por otra parte, esto excluye los espacios vectoriales de dimensión infinita que, como veremos (en el recuadro), también pueden estar provistos de tales estructuras. Por ello se define una aplicación f que asocia a dos vectores u y v un número real f (u, v), que posee las propiedades de linealidad respecto de la primera variable y de simetría, y que verifica f (u, u) > 0 si u no es nulo. El escalar f (u, v), denotado (u | v) o, más sencillamente, u.v, se llama producto escalar de los vectores u y v.