A finales del 19.º siglo, el análisis matemático había alcanzado una construcción rigurosa, asentada sobre fundamentos sólidos. En particular, la noción de límite, con la que los matemáticos habían tropezado, quedó definida con precisión gracias a Augustin Louis Cauchy (1789-1857; véase Augustin Louis Cauchy, Tangente Hors-série 91, 2024), pero sobre todo al alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Esto fue posible gracias a una construcción de los números reales que, hasta entonces, parecían derivarse de la intuición. Recordemos que todo el análisis se basa en la noción de límite, en particular todo lo relativo a la derivación y la integración. Así pues, esta disciplina parecía avanzar únicamente mediante aportaciones marginales. Sin embargo, durante ese mismo siglo germinaron algunos indicios que anunciaban una revolución: las nociones de estructuras abstractas y los inicios del análisis funcional.
Los signos precursores ------------------------
Tras Évariste Galois (1811-1832), que sentó las primeras bases de la teoría de grupos justo antes de morir en duelo en 1832 (Les groupes, Bibliothèque Tangente 80, 2023; Évariste Galois, Bibliothèque Tangente 82, 2023), varios matemáticos, entre ellos el inglés Arthur Cayley (1821-1895), el alemán Leopold Kronecker (1823-1891) y el francés Camille Jordan (1838-1922), pusieron de manifiesto algunos axiomas comunes que cumplen distintos conjuntos provistos de una operación. Por ejemplo, la asociatividad se cumple para la suma en los conjuntos numéricos, es decir, se tiene la igualdad (a + b) + c = a + (b + c), pero esta propiedad también se verifica para las permutaciones o para la composición de funciones. Tras algunas vacilaciones, surgió un consenso para llamar «grupo» a un conjunto provisto de una operación asociativa, que posee un elemento neutro y en el que todo elemento admite un simétrico. Paralelamente, el alemán Hermann Grassmann (1809-1877) definió de forma abstracta una noción, denominada hoy «espacio vectorial», destinada a representar el plano, pero también el espacio en el que vivimos. Inspirado por este trabajo bastante abstruso y muy consciente de su importancia, el italiano Giuseppe Peano (1858-1932), conocido asimismo por su formalización de los números naturales, publicó en 1888 Calcolo geometrico. En esta obra plantea de manera axiomática las nociones de espacio afín y vectorial. La teoría de conjuntos, elaborada en aquella época por el alemán Georg Cantor (1845-1918), resultó ser el marco ideal para desarrollar estas nociones.
Al mismo tiempo, matemáticos se interesaron por las convergencias de sucesiones de funciones.
Entre ellos, varios italianos como Giulio Ascoli (1843-1896) o Cesare Arzéla (1847-1912) demostraron propiedades del límite de tales sucesiones según el contexto. Si creemos a Stefan Banach: «Fue Volterra quien introdujo las funciones de líneas, es decir, funciones cuya variable y cuya imagen son a su vez funciones.» Vito Volterra (1860-1940) también era italiano y, fuera de las matemáticas, fue un feroz opositor del fascismo.